Question

Um triângulo possui uma circunferência inscrita e outra circunscrita. Um dos lados do triângulo passa pelo centro da circunferência circunscrita e a soma das medidas dos outros lados é igual a s.Qual é a medida da soma dos comprimentos das duas circunferências?A) πs /2B) πsC) 3πsD) 2πsE) 3πs/2

Answer 1

Bom dia

Pela descrição o triângulo está inscrito em uma semi  circunferência a
hipotenusa é 2R e os catetos são  b  e  c , onde b+c = s

O raio da circunferência inscrita é r.
 
Temos :

b+c=2R+2r    ou  s= 2R+2r   e multiplicando a igualdade por   π

fica  πs=π(2R+2r)⇒πs=2πR+2πr  (que é a soma dos comprimentos das
duas circunferências )

Resposta : πs

Para detalhar a solução é necessário mais espaço e uma figura ( no anexo).

Façamos :

b=BC  ;   c=AC  ;  s = b+c   ;  AP+PB=2R ;  BM=BP  ; AN=AP  e  OM=CM=CN=r

Temos :

b+c = (BM+MC)+(AN+NC)

b+c = (BP+r)+(AP+r)

b+c = AP+PB+r+r

b+c = 2R+2r

s = 2R+2r

πs= (2R+2r)π  ⇒ πs = 2πR+2πr

Answer 2

Se r é o raio da circunferência inscrita ao triângulo e R o raio da circunferência circunscrita, temos:

Cos 60° = r/R → 1/2 = r/R → R = 2r