Matemática, perguntado por Samuelleite12, 1 ano atrás

um triângulo possui seus vértices localizados nos ponto P(4,1),Q(4,1) e R(0,y). para que o triângulo tenha área a 6. y deve ser igual? R:(9,0)


adjemir: Continuando.... Então, os esclarecimentos que queremos são estes: quais são as coordenadas do ponto P e do ponto Q (note que estes dois pontos estão com coordenadas iguais) e quais são as coordenadas do ponto R: é R(0; y) ou é R(9; y)? Ou seja, a abscissa do ponto R é "0" ou é "9"? Estamos aguardando as suas informações. OK? Adjemir.
Samuelleite12: o R, ao qual me referi após a interrogação é o gab. O ponto P(1,4) e Q(4,1). Me desculpe pelos erros.
adjemir: OK. Então quanto aos pontos P e Q, teremos: P(1; 4) e Q(4; 1). Agora ainda falta mais um esclarecimento quanto ao vértice "R". O vértice "R" será: R(0; y) ou é R(9; y)?. Veja: se você informa que o gabarito da questão dá que a resposta é: R(9; 0), então, nesse caso, o vértice "R" seria: R(9; y) e não R(0; y). Então é isso que queremos que você esclareça: quando ainda há o "y" como a ordenada do ponto "R", esse ponto "R" será: R(0; y) ou será R(9; y)?.
adjemir: Continuando..... Pronto. Só mais este esclarecimento e iremos tentar a resolução da questão. OK?
Samuelleite12: r(0,y)
Samuelleite12: o r após a interrogação é apenas a resposta correta.
Samuelleite12: apenas é o gab dado
adjemir: Mas, Samuel, se o ponto "R", no gabarito, tem coordenadas R(0; y), ou seja, tem abscissa igual a "0" e ordenada igual a "y", como é que, de repente, essa abscissa "0" vira "9", a ponto de o ponto R, no gabarito, ser: R(9; 0)?. Quanto ao fato de o "y" ser igual a "0", nada obsta. O que está "pegando" é a abscissa do ponto R passar de "0" na questão [quando é informado que é: R(0; y)] e passar, no gabarito, para "9" [quando é informado que é R(9; 0)].
adjemir: Continuando..... Não terá sido um erro seu de digitação, já que o "0" fica, no teclado, vizinho ao "9". Veja isto e esclareça. OK?
adjemir: Samuel, veja a minha resolução da questão. Note que "y" poderá ser igual a "9" ou igual a "1". Nesse caso, o gabarito, apenas para os possíveis valores de "y", deveria ter dado: y = 9; ou y = 1. E, nesse caso, o conjunto-solução seria: S = {9; 1}, ou seja, o vértice R,que, na questão era R(0; y), poderá ser um destes: R(0; 9) ou R(0; 1). Em ambos os casos, a área do triângulo é igual a "6". OK? Adjemir

Soluções para a tarefa

Respondido por adjemir
1
Vamos lá.

Bem, vou considerar que os vértices do triângulo são estes:

P(1; 4); Q(4; 1) e R(0; y).
Agora note: como a área de um triângulo é dada por "1/2" vezes o módulo do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos seus vértices. Então vamos formar essa matriz e calcular o seu determinante (módulo), igualando-o a "6", que é o valor da área do triângulo. Assim:
 
........||1...4...1|1...4||
(1/2)*||4...1...1|4...1|| = 6 ------ desenvolvendo, temos:
........||0..y..1||0...y||

(1/2)*|1*1*1+4*1*0+1*4*y - (0*1*1+y*1*1+1*4*4)| = 6
(1/2)*|1 + 0 + 4y - (0 + y + 16)| = 6
(1/2)*|1 + 4y - (y + 16)| = 6
(1/2)*|1+4y - y - 16| = 6 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(1/2)*|3y - 15| = 6 ----- veja que isso pode ser escrito assim:
1*|3y - 15|/2 = 6 ----- multiplicando em cruz, teremos:
|3y - 15| = 2*6
|3y - 15| = 12 ------ agora veja que temos aqui o módulo de "3y-15" igual a "12". Agora vamos às condições de existência de funções modulares.
Vamos ver:

i) Para 3y-15 ≥ 0, teremos que:

3y - 15 = 12
3y = 12 + 15
3y = 27
y = 27/3
y = 9 <---- Este é um valor possível para "y".

ii) Para 3y - 15 < 0, teremos:

-(3y - 15) = 12 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
- 3y + 15 = 12
- 3y = 12 - 15
- 3y = - 3 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
3y = 3
y = 3/3
y = 1 <---- Este outro valor possível para "y".

iii) Assim, teremos que "y" poderá assumir os seguintes valores:

y = 9 ou y = 1 <---- Esta é a resposta. Este são os possíveis valores de "y", considerando que o vértice R da questão é: R(0; y).
Nesse caso, o vértice "R", que, na questão é: R(0; y) poderá ser:

R(0; 9) ou R(0; 1).

E o conjunto-solução, considerando que "y" poderá ser igual a "9" ou igual a "1", poderá ser dado assim:

S = {9; 1}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

adjemir: Você notou, Samuel, que o conjunto-solução, no que diz especificamente ao valor de "y" será: S = {9; 1}. Ou seja, como "y" poderá ser igual a "9" ou igual a "1", então o vértice "R", que na questão é R(0; y), poderá ser, quando substituirmos o "y"por "9" ou por "1": R(0; 9) ou R(0; 1). Em ambos os casos, a área do triângulo será igual a "6". OK?
adjemir: Você entendeu, Samuel?
Samuelleite12: sim, muito obrigado. Vc tem sido de enorme ajuda. Agradeço com muita veemência.
adjemir: De nada, Samuel. Disponha.
adjemir: E obrigado por eleger a minha resposta como a melhor.
Samuelleite12: O senhor tem sido de muita ajuda, obrigado por tudo. Será que posso propor mais uma? Tive uma questão parecida com essa: http://brainly.com.br/tarefa/5093465 . Entendi a resol., mas n entendi uma parte. Será que o senhor poderia ir lá e responder essa minha indagação?
Perguntas interessantes