Question

um triângulo possui os vertices a (0,2), b (4,0) e c (1,2). quanto mede cos Bâc?

Answer 1

Sabendo que A, B e C são os vértices do triângulo em questão, sabemos também que ele é formado pelos seguimentos: AB, AC e BC, que são seus lados (um triângulo tem três lados). Agora, o próximo passo é calcular quanto mede a distância de cada um desses seguimentos. Para isso, vamos utilizar a fórmula geral que calcula a distância entre dois pontos quaisquer de um gráfico cartesiano, com base em suas coordenadas x e y:

distânciaAB= √(xA-xB)²+(yA-yB)²    -----> Tudo está dentro da raiz.

Vou reescrever as coordenadas x e y dos pontos A,B e C para facilitar a resolução mais a frente:

A(0,2) ---->  xA=0 , yA=2
B(4,0) ---->  xB=4 , yB=0
C(1,2) ---->  xC=1 , yC=2


Agora, vamos calcular a distância entre A e B:

dAB= √(xA-xB)²+(yA-yB)²
dAB= √(0-4)²+(2-0)²
dAB= √(-4)²+(2)²
dAB= √16+4
dAB= √20

O seguimento AB vale √20. Simplificando esse radicando, temos 2√5.

Agora, vamos calcular a distância entre A e C.

dAC= √(xA-xC)²+(yA-yC)²
dAC= √(0-1)²+(2-2)²
dAC= √(-1)²+(0)²
dAC= √1+0
dAC= √1
dAC= 1

O seguimento AC vale 1.

Agora, vamos calcular a distância entre B e C.

dBC= √(xB-xC)²+(yB-yC)²
dBC= √(4-1)²+(0-2)²
dBC= √(3)²+(-2)²
dBC= √9+4
dBC= √13

O seguimento BC vale √13.

Depois de tanto trabalho, você deve estar se perguntando qual a finalidade disso na resolução. Acontece que é fundamental descobrir essas medidas dos lados do triângulo ABC para podermos utilizar a Lei dos Cossenos.

O ângulo BÂC é o ângulo no ponto A, formado pelos lados AB e AC do nosso triângulo.

A Lei dos Cossenos nos diz que, se quisermos calcula a distância de um lado (a) de um triângulo qualquer, seu quadrado (a²) é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados (b²+c²), menos duas vezes o produto desses outros dois lados(-2bc) vezes o cosseno do ângulo oposto a esse  lado (a), que é (cos β). A fórmula é dada por:

a²= b²+c²-2bc.cos β

Agora temos que adequar essa fórmula para o nosso triângulo ABC. Vamos tomar por referência o ângulo BÂC, que vou chamar de β.

O lado (a) da fórmula é o lado oposto a esse ângulo, que no nosso caso, é o lado BC. Os outros dois lados são os que restaram: AB e AC. Vamos substituir na fórmula da Lei dos Cossenos:

BC²= AB²+AC² -2.AB.AC.cos β

Vamos substituir os valores que encontramos de cada um desses segmentos:

(√13)²= (2√5)²+(1)² -2.(2√5).(1).cos β
13= 4(5) +1 -4√5.cos β
13= 20+1 -4√5.cos β
13= 21 -4√5.cos β
13-21= -4√5.cos β
-8= -4√5.cos β    ------> Multiplicando ambos os lados por (-1)
8= 4√5.cos β  -------> Passando o (4√5) dividindo para o outro lado.
8/(4√5)= cos β  ----> Simplificando por 4.
2/√5= cos β
cos β= 2/√5

Como você bem deve saber, não podemos deixar raízes no denominador. Para isso, nós temos que racionalizar a fração, multiplicando o numerador e denominador pela raiz, nesse caso, √5.

cos β= 2/√5 . √5/√5
cos β= 2√5/(√5)²
cos β= 2√5/5

Nós descobrimos que o  cos BÂC= (2√5)/5

Foi um exercício que exigia o conhecimento de calcular a distância entre dois pontos quaisquer no gráfico e o conhecimento da Lei dos Cossenos. Se você encontrou dificuldade de compreender a resolução, recomendo você mesmo tentar esboçar um gráfico cartesiano e marcar sobre ele as coordenadas dos pontos A, B e C. Depois ligue-os com a ajuda de uma régua e você verá que formará um triângulo obtuso, meio estranho, mas ele é assim mesmo. Registre em cada lado as distâncias que nós calculamos e  marque o ângulo BÂC, para visualizar o que fizemos ao substituir os valores na Lei dos Cossenos. Recomendo procurar vídeo aulas sobre esse assunto também. Boa noite!