Question

Um triângulo isosceles ABC de base BC está circunscrito a uma circunferência de raio 15. Sabendo que a altura do triângulo em relação a BC é 40, a área do triângulo ABC é
: a) 1 200
b) 600
c) 300
d) 450
e) 2 400​

Answer 1

A área do triângulo vale 1200 u.a. (Alternativa A)

$\dotfill$

Primeiramente é importante fazer um esboço da situação. A figura em anexo nos ajudará com isso. Observe que AM é a altura do triângulo em relação a BC e, como colocado, mede 40 cm.

Da figura, ADO é retângulo. Podemos usar o teorema de Pitágoras para descobrir a medida de AD. Isso será útil adiante. Como AO = 25 cm, temos:

AO² = DO² + AD²

25² = 15² + AD²

625 - 225 = AD²

AD = √400

AD = 20

O próximo passo é observar que os triângulos BOM e BOD são congruentes. Isto ocorre, pois BO é bissetriz do triângulo, uma vez que o círculo está inscrito no triângulo, ∠BMO = ∠BDO = 90º e os dois triângulos compartilham o lado BO.

Sendo assim, BD = BM.

No passo seguinte, aplicarei o teorema de Pitágoras ao triângulo BMA. Desta forma,

BA² = BM² + AM²

(BD + AD)² = BM² + AM²

(BM + 20)² = BM² + 40²

BM² + 40BM + 400 = BM² + 1600

40BM + 400 = 1600

40BM = 1200

BM = 30

Com isso, BC = 60.

Logo, a área pode ser calculada:

Área = (60 x 40)/2 = 1200   (Alternativa A)

Até mais!