Question

um triângulo equilátero tem 2m de altura. Detremine a mendida do lado, do perímetro e da área do triângulo

Answer 1

Como a interseção de h com AB resulta em um ponto, chamemos esse ponto de H.

Tomando o triângulo retângulo ΔHBC e chamando de x a medida da base AB, temos

$tg(\^B) = \dfrac{cateto \;oposto}{cateto \;adjacente} = \dfrac{2}{ \frac{x}{2} } \\\\ tg60\° = 2 \cdot \frac{2}{x} \\\\ \sqrt{3} x = 4\\\\ x = \frac{4}{ \sqrt{3} } = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \\\\ x = \frac{4\sqrt{3}}{3} \quad\;que\;e\´\;a\; medida\;dos \;lados\;do\;tri\^angulo$


Perímetro

$2p = l + l + l = 2 \cdot l 2p = 3 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3} = \not3 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{\not3} \\\\ 2p = 4\sqrt{3}$

Obs.: 2p é o símbolo usado para representar perímetro.


Área

Num triângulo equilátero, podemos calcular a área de dois modos: 1) usando a fórmula padrão $A = \frac{base \cdot altura}{2}$ ou $A = \frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$.

Usando a 2ª fórmula, obtemos

$A = \dfrac{l^{2} \sqrt{3}}{4} = \dfrac{(4\sqrt{3})^{2} \sqrt{3}}{4}\\\\ A = \dfrac{ (16 \cdot \frac{3}{9})\sqrt{3} }{4} = \dfrac{ \frac{48}{9}\sqrt{3} }{4}\\\\ A = \frac{48}{9}\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{36} = \frac{8 \sqrt{3} }{6}\\\\ Portanto,\quad A = \dfrac{4 \sqrt{3} }{3}$