Question

Um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência tem área igual a 27 raiz quadrada de 3 cm. Qual a área do triângulo equilátero circunscrito à essa circunferência?

Answer 1

A área do triângulo equilátero é 108√3 cm².

Primeiro, vamos analisar o triângulo equilátero inscrito na circunferência. Como a área desse triângulo é igual a 27√3 cm², então o lado do triângulo é igual a:

$27\sqrt{3}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

l² = 4.27

l = 6√3 cm.

Observe a imagem abaixo. Considerando que r é o raio da circunferência, pela Lei dos Cossenos temos que:

(6√3)² = r² + r² - 2.r².r².cos(120)

108 = 2r² - 2r².(-1/2)

108 = 2r² + r²

3r² = 108

r² = 36

r = 6 cm.

Agora, vamos analisar o triângulo equilátero circunscrito. Considere que o lado do triângulo seja L.

Neste caso, temos que $r=\frac{\sqrt{3}L}{6}$. Como r = 6, então:

√3L = 36

L = 36/√3

L = 12√3 cm.

Portanto, a área do triângulo equilátero é igual a: $S = \frac{(12\sqrt{3})^2.\sqrt{3}}{4}$

S = 108√3 cm².