Question

Um triângulo equilátero e hexágono regular estão inscrito em uma mesma circunferência. se o lado do triangulo equilátero mede 16 cm, determine o apótema do hexágono regular

Answer 1

Boa tarde Hernandy 

triangulo equilateral de lado L = 16

o raio

R = abc/4S onde a,b,c são os lados e S área

abc = 16³

S = √3*16²/4 

R = 16³/(4√3*16²/4) = 16√3/3

R = lado do hexágono

Lh = 16√3/3

Pitagoras

Lh² = ap² + (Lh/2)² 

256/3 = ap² + 64/3

ap² = 256/3 - 64/3 = 192/3 = 64

apotema
ap = 8 

Answer 2

$\ Come\c{c}ar \ olhando \ o \ anexo \ . \\ \\ Continuando$

$O \ \hat{a}ngulo \ interno \ de \ um \ pol\acute{i}gono \ regular \ pode \ ser \ calculado \ por : \\ \\ \boxed{S_i \ = \ (n-2).180^\circ} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ \\ Onde \ \mathbf{n} \ \acute{e} \ o \ n\acute{u}mero \ de \ lados \ do \ pol\acute{i}gono \ e \ \mathbf{S_i} \ a \ soma \ dos \ \hat{a}ngulos \\ internos \\ \\ Al\acute{e}m \ disso \ podemos \ calcular \ S_i \ por \ : \\ \\ \boxed{S_i \ = \ a_i . n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

$Onde \ \mathbf{a_i} \ representa \ o \hat{a}ngulo \ interno \ do \ pol\acute{i}gono . \\ \\ Substituindo \ (2) \ em \ (1) \ , \ temos : \\ \\ a_i.n \ = \ (n-2).180^\circ \\ \\ Por \ se \ tratar \ de \ um \ hex\acute{a}gono \ temos que \ n=6 \ , \ logo : \\ \\ a_i.6 \ = \ (6-2).180^\circ \\ a_i \ = \ 120^\circ$
$Vou \ representar \ os \ lados \ do \ hex\acute{a}gono \ por \ \mathbf{x}$

$Aplicando \ \ o \ teorema \ dos \ cossenos \ no \ \Delta EDC : \\ \\ \overline{EC}^2 \ = \ \overline{ED}^2+\overline{DC}^2 -2. \overline{ED}.\overline{DC}.cos \ \hat{D} \\ 16^2 \ = \ x^2+x^2 - 2.x.x. ( \frac{-1}{2} ) \\ 16^2 \ = \ x^2+x^2 -2x^2. ( \frac{-1}{2} ) \\ 16^2 \ = \ 3x^2 \\ x \ = \ \frac{16 \sqrt{3} }{3}$

$Antes \ de \ prosseguir \ olhe \ o \ anexo \ 2 . \ (Continuando) \\ \\ \overline{OP} \ \acute{e} \ a \ medida \ do \ ap\acute{o}tema \ do \ hex\acute{a}gono \\ \\ Da \ geometria \ plana \ sabemos \ que \ o \ lado \ hex\acute{a}gono \ \acute{e} \ igual \ ao \\ raio \ da \ circunfer\hat{e}ncia \ circunscrita \ ao \ mesmo \ . \ Logo : \\ \overline{OD} \ = \ \frac{16 \sqrt{3} }{3}$

$\ Ent\tilde{a}o \ aplicando \ teorema \ pit\acute{a}goras \ no \ \Delta ODP : \\ \\ \overline{OD}^2 \ = \ \overline{DP}^2 \ + \ \overline{OP}^2 \\ \\ Sendo \ o \ segmento \ \overline{DP} \ metade \ da \ medida \ do \ segmento \\ \overline{DC} \ , \ temos \ : \\ \overline{OD}^2 \ = \ [ \frac{1}{2}.(\overline{DC})]^2 + \overline{OP}^2$

$( \frac{16 \sqrt{3} }{3})^2 \ = \ [ \frac{1}{2} . \frac{16 \sqrt{3} }{3}]^2+ \overline{OP}^2 \\ \\ \frac{256}{3} \ = \ \frac{64}{3} + \overline{OP}^2 \\ \\ \overline{OP}^2 \ = \ 64 \\ \overline{OP} \ = 8 \ cm$