Question

Um triângulo equilátero de lado medindo 6 cm e um retângulo de mesma altura e base com medida 2 cm estão posicionados como mostra a figura 1. A seguir o retângulo começa a se deslocar para a direita, como na figura 2. Seja x a medida representada na figura 3.
a) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 1?
b) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 3?
c) Qual é a área da região comum aos dois polígonos quando x = 4?​

Answer 1

Resposta:

a) A = $\sqrt{3}$ u.a.

b) A = 6 x $\sqrt{3}$ u.a.

Explicação passo a passo:

Este problema pode ser resolvido usado conhecimentos de trigonometria.

a) Se x = 1, a região comum aos dois polígonos é um triângulo (retângulo).

Já sabemos que a base do triângulo é 1 (x=1). Vamos determinar a altura usando trigonometria.

Como o triângulo é equilátero, todos os ângulos são iguais e medem 60 graus.

$tan60 = \frac{a}{1}$ <=> a =$\sqrt{3}$

área = $\frac{1 .\sqrt{3} }{2} = \frac{\sqrt{3} }{2}$ unidades de área

b)  Se x = 3, a região comum aos dois polígonos é um trapézio retângulo.

Base maior coincide com a altura do triângulo. A altura do triângulo pode ser novamente obtida usando trignometria.

$tan60 = \frac{a}{3}$ <=> a = 3$\sqrt{3}$

área  = 3x (3    $\sqrt{3}$ +  $\sqrt{3}$ ) /2 =6$\sqrt{3}$ unidades de área

Answer 2

VEJA IMAGENS EM ANEXO

a) x = 1
A área em comum é um triângulo retângulo, com as peculiaridades da imagem. Como queremos saber o comprimento do cateto oposto (CO) ao ângulo de $60\textdegree$, e temos o cateto adjacente (CA), usaremos a tangente, já que esta relação utiliza justamente estes dois valores.
$\tan 60 = \cfrac{CO}{CA} \\\\\sqrt{3} = \cfrac{CO}{1} \\\\CO = \sqrt{3}$

Área do triângulo:
$A = \cfrac{bh}{2} \\\\A = \cfrac{1 \cdot \sqrt{3} }{2}\\\\A = \cfrac{\sqrt{3} }{2}$

b) x = 3

A área em comum corresponde a um trapézio retângulo, cujas bases correspondem ao que, no item anterior, era o cateto oposto, e à altura do triângulo (h). Similarmente ao item a, podemos calcular a altura do triângulo com a tangente de $60\textdegree$.

$\tan 60 = \cfrac{h}{CA} \\\\\sqrt{3} = \cfrac{h}{3} \\\\h = 3\sqrt{3}$

Área do trapézio:

$A = \cfrac{h(B+b)}{2} \\\\A = \cfrac{2(3\sqrt{3} +\sqrt{3} )}{2}\\\\A = 4\sqrt{3}$

c) x = 4

A área pode ser vista como um retângulo de lados 2 e altura do triângulo (anteriormente h, $3\sqrt{3}$), subtraído de 2 triângulos iguais de lado 1 e altura que chamarei de x. Esta altura também pode ser obtida com a tangente de $60\textdegree$.

$\tan 60 = \cfrac{x}{CA} \\\\\sqrt{3} = \cfrac{x}{1} \\\\x= \sqrt{3}$

Estes dois triângulos iguais podem ser vistos como um retângulo de mesmas dimesões. Área total:

$2 \cdot 3\sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} \\= 5\sqrt{3}$