Question

Um triângulo equilátero ABC, de lado medindo 3 cm, foi dobrado ao longo do segmento de reta PQ, de modo que o vértice A passou a ficar sobre o ponto A' do lado BC, com BA' = 1cm, conforme a figura abaixo. Calcule os comprimentos de
1 PA

2 QA'

3. PQ​

Answer 1

PA = 7/5, PA = 7/5 e (7√21)/20.

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Sejam PA = x, QA = y e PQ = z.

O triângulo ABC sendo equilátero, Â = B = C = 60º.

Como o triângulo PQA' foi originado da dobradura, PQA' é congruente ao triângulo PQA. Assim, PA = PA' , QA = QA'.

Se AB = 3 e PA = x,  logo PB = 3 - x. Usando a lei dos cossenos no triângulo BPA':

x² = 1² + (3 - x)² - 2 . 1 . (3 - x) . cos 60º

x² = 1 + 9 - 6x + x² - 2 . 1 . (3 - x) . 1/2

0 = 1 + 9 - 6x - (3 - x)

0 = 1 + 9 - 6x - 3 + x

5x = 7

x = 7/5

Logo, PA = 7/5.

Para encontrar QA' fazemos de modo análogo com o triângulo CQA':

y² = 2² + (3 - y)² - 2 . 2 . (3 - y) . cos 60º

y² = 4 + 9 - 6y + y² - 2 . 2 . (3 - y) . 1/2

0 = 4 + 9 - 6y - 2(3 - y)

0 = 4 + 9 - 6y - 6 + 2y

4y = 7

y = 7/4

Logo, QA' = 7/4.

Finalmente, para encontrar PQ aplicamos novamente a lei dos cossenos ao triângulo APQ:

z² = x² + y² - 2 . x . y . cos 60º

z² = (7/5)² + (7/4)² - 2 . 7/5 . 7/4 . 1/2

z² = 49/25 + 49/16 - 49/20

z² = 1029/400

z = (7√21)/20

Logo, PQ = (7√21)/20.

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Veja também:

https://brainly.com.br/tarefa/20622215

Answer 2

Os comprimentos de PA, QA'  e PQ serão, respectivamente: PA = 7/5, QA' = 7/4 e PQ: (7√21)/20.

O que é a trigonometria?

A trigonometria é a vertente da matemática que estuda os triângulos e mais precisamente as relações existentes entre seus ângulos e lados. A mesma possui três ângulos, sendo: Seno, Cosseno e Tangente.

E a semelhança de triângulos se faz quando existe:

• Semelhança entre os lados correspondentes;

• Esses mesmos ângulos similares serem congruentes;

Portanto, teremos as seguintes informações do Enunciado:

• PA, QA e PQ como: x, y e z.

• Triângulo ABC =  Â = B = C = 60

Triângulo PQA' é congruente do triângulo PQA, portanto:

• PA = PA' , QA = QA'.

Então utilizando a lei dos cossenos no triângulo BPA':

x² = 1² + (3 - x)² - 2 . 1 . (3 - x) . cos 60º

x² = 1 + 9 - 6x + x² - 2 . 1 . (3 - x) . 1/2

0 = 1 + 9 - 6x - (3 - x)

0 = 1 + 9 - 6x - 3 + x

5x = 7

x = 7/5 ou PA = 7/5

Enquanto que para QA' como triângulo CQA', teremos:

y² = 2² + (3 - y)² - 2 . 2 . (3 - y) . cos 60º

y² = 4 + 9 - 6y + y² - 2 . 2 . (3 - y) . 1/2

0 = 4 + 9 - 6y - 2(3 - y)

0 = 4 + 9 - 6y - 6 + 2y

4y = 7

y = 7/4 ou QA' = 7/4

E finalizando com PQ "agindo como triângulo APQ, encontraremos:

z² = x² + y² - 2 . x . y . cos 60º

z² = (7/5)² + (7/4)² - 2 . 7/5 . 7/4 . 1/2

z² = 49/25 + 49/16 - 49/20

z² = 1029/400

z = (7√21)/20 ou PQ  =  (7√21)/20

Para saber mais sobre Trigonometria:

https://brainly.com.br/tarefa/17435447

Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)