Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5 , 4 BC = e 2 AC = . Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo B A e Cˆ CN é a altura relativa ao lado AB . Determinar o comprimento de MN.
Soluções para a tarefa
O comprimento MN é de 11/30.
Para a resolução da questão é preciso considerar que a bissetriz CM consiste na reta que tem origem no vértice C, e divide o ângulo C pela metade. Sendo assim, pelo teorema da bissetriz interna temos que:
CB/MB = AC/(AB-MB)
4/MB = 2/(5-MB)
2MB = 4(5 - MB)
2MB = 20 - 4MB
2MB + 4MB = 20
6MB = 20
MB = 20/6
MB = 10/3
Logo, AM = AB - MB
AM = 5 - 10/3
AM = (15 - 10)/3
AM = 5/3
Através do teorema de Pitágoras temos: h² = (CN)²
Equação do triângulo CNB = (CN)² = (BC)² - (MB - MN)²
Equação do triângulo CNA = (CN)² = (AC)² - (AM + MN)²
Considerando que são dois triângulos semelhantes, que possuem altura em comum, somente é preciso igualar as 2 equações:
16 - (10/3 - MN)² = 4 - (5/3 + MN)²
16 - 100/9 + 20MN/3 - MN² = 4 - 25/9 - 10MN/3 - MN²
10MN = 33/9
MN = (11/3)/10
MN = 11/3(1/10)
MN = 11/30
Bons estudos!