Question

Um triângulo ABC tem ângulo interno com vértice no ponto A denominado por α. Sabe-se que cos α = 0,8 e que a altura do triângulo com relação ao lado AC é 4,2.
a) Apresente uma figura geométrica que represente os dados do problema.
b) Determine a medida do lado AB.
por favor,

Answer 1

As respostas dos itens são:

• A) O esboço que representa os dados presentes na questão esta em anexo.

• B) A medida do lado AB é igual a 7.

Observe no anexo que se marcarmos a altura do ΔABC, teremos dois triângulos retângulos, entre eles ΔABD.

Tendo em mente as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), deduzimos que o seno do ângulo α é numericamente igual ao quociente (divisão) do cateto oposto (lado BD) e a hipotenusa (lado AB).

Para descobrirmos o seno desse ângulo (α), usaremos a primeira relação fundamental da Trigonometria, que diz:

$sen^{\mathsf{2}}~\alpha + cos^{\mathsf{2}}~\alpha~\mathsf{=1^{2}}$

Perceba que:

$sen^{\mathsf{2}} ~\alpha~\mathsf{\neq}~sen~\alpha^{\mathsf{2}}$

Já que no segundo caso estamos calculando o quadrado do ângulo, para então calcular o seno!

Como temos o seno do ângulo, podemos descobrir o cosseno:

$sen^{\mathsf{2}}~\alpha + cos^{\mathsf{2}}~(\alpha)~\mathsf{=1^2}\\\\sen^{\mathsf{2}}~\alpha + (cos~\alpha)^{2}~\mathsf{=1^{2}}\\\\sen^{\mathsf{2}}~\alpha + (0{,}8)^{2}~\mathsf{= 1^{2}}\\\\sen^{\mathsf{2}}~\alpha = 1^{2} - 0{,}8^{2}\\\\sen~\alpha~\mathsf{=\sqrt{1^{2}-0{,}8^{2}}}\\\\sen~\alpha~\mathsf{=\sqrt{1-0{,}64}}\\\\sen~\alpha~\mathsf{= \sqrt{0{,}36}}\\\\\underline{\overline{sen~\alpha \mathsf{= 0{,}6}}}$

Resta apenas calcular o valor do lado AB, nesse exemplo, a hipotenusa de ΔABD:

$sen~\alpha~\mathsf{=\dfrac{BD}{AB}}\\\\\mathsf{0{,}6 = \dfrac{4{,}2}{AB}}\\\\\mathsf{0{,}6AB = 4{,}2}\\\\\mathsf{AB = \dfrac{4{,}2}{0{,}6}}\\\\\mathsf{AB = \dfrac{4{,}2 \cdot 10}{0{,}6 \cdot 10}}\\\\\mathsf{AB = \dfrac{42}{6}}\\\\\\\boxed{\underline{\overline{\mathsf{AB = 7}}}}$

Que tal aprender mais sobre a Primeira Relação Fundamental da Trigonometria?!

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