Question

Um triângulo ABC tem AB =
$\sqrt{5} cm$
e ABC = 30°. Se sua área mede
$\frac{5 \sqrt{3} }{4} cm ^{2}$
, pode-se afirmar que esse triângulo é:

a) Escaleno
b) Equilátero
c) Isósceles
d) Retângulo​

Answer 1

Uma coisa é certa: esse triângulo não é equilátero, pois um de seus ângulos mede 30°. Se o triângulo fosse equilátero, cada um de seus ângulos mediria 60°. Portanto, podemos eliminar a alternativa b).

Podemos testar se o triângulo é retângulo. Desenhando um triângulo retângulo ABC com ângulo B = 30° e AB = √5, observam-se duas possibilidades: o lado AB pode ser a hipotenusa desse triângulo ou um dos catetos do triângulo, dependendo das posições dos pontos A e C.

Se AB for hipotenusa, AC e BC representarão a base e a altura desse triângulo. Assim, poderemos verificar qual é a área do triângulo. Porém, precisamos descobrir as medidas de AC e BC antes.

Temos:

sen 30° = AC/AB

1/2 = AC/√5

AC = √5/2 cm

cos 30° = BC/AB

√3/2 = BC/√5

BC = √5.√3/2

BC = √15/2 cm

A área do triângulo será:

área = (base)*(altura)/2

área = (√15/2)*(√5/2)/2

área = (√75/4)/2

área = √75/8 cm²

área = 5√3/8 cm²

Como 5√3/8 cm² ≠ 5√3/4 cm², que é a área fornecida no enunciado, então não pode ser um triângulo retângulo com hipotenusa AB = √5.

Se AB for um dos catetos do triângulo, então AB será a base desse triângulo e AC será a altura dele. Novamente, podemos descobrir a medida de AC nesse caso e verificar qual é a área do triângulo.

Temos:

tg 30° = AC/AB

√3/3 = AC/√5

AC = √15/3 cm

E a área, nesse caso, será:

área = (base)*(altura)/2

área = (√5).(√15/3)/2

área = (√75/3)/2

área = √75/6 cm²

área = 5√3/6 cm²

Novamente, encontramos uma área diferente da área fornecida no enunciado, então também não pode ser esse triângulo retângulo. Assim, podemos eliminar a alternativa d).

Podemos, agora, testar se o triângulo é isósceles. Se ele for isósceles, terá dois lados iguais e dois ângulos com a mesma medida. Se tentarmos desenhar esse triângulo, perceberemos que há três possibilidades nesse caso:

1) Triângulo isósceles ABC com dois ângulos de 30°, um ângulo de 120° e base AB = √5 cm.

2) Triângulo isósceles ABC com dois ângulos de 30°, um ângulo de 120° , dois lados medindo √5 cm (AB = AC = √5 cm) e base de medida desconhecida.

3) Triângulo isósceles ABC com um ângulo de 30° e dois ângulos de 75°, dois lados iguais medindo √5 (AB = AC = √5) e base de medida desconhecida.

No caso 1, se traçarmos a altura relativa ao vértice cujo ângulo mede 120°, dividiremos o triângulo em dois triângulos menores cujos ângulos medem 30°, 60° e 90°. Esses triângulos terão um dos catetos medindo √5/2, altura h e hipotenusa de medida desconhecida.

Aplicando relações trigonométricas em qualquer um dos dois triângulos menores, temos:

tg 30° = h/(√5/2)

√3/3 = 2h/√5

3.2h = √3.√5

6h = √15

h = √15/6 cm

Logo, a área desse triângulo isósceles será:

área = (base)*(altura)/2

área = (√5)*(√15/6)/2

área = √75/12 = 5√3/12 cm²

Como a área é diferente da área do enunciado, não pode ser esse triângulo isósceles.

No triângulo isósceles do caso 2, se traçarmos a mesma altura do caso 1, teremos dois triângulos menores com ângulos medindo 30°, 60° e 90° e a hipotenusa deles valerá √5. Nesse caso, aplicando relações trigonométricas, temos:

sen 30° = h/√5

1/2 = h/√5

2h = √5

h = √5/2 cm

cos 30° = (base do triângulo menor)/√5

√3/2 = (base do triângulo menor)/√5

base do triângulo menor = √5.√3/2

base do triângulo menor = √15/2 cm

Nesse caso, a altura do triângulo isósceles maior é √5/2 e a base dele mede o dobro da base do triângulo menor, ou seja, mede √15, e a área do triângulo será:

área = (base)*(altura)/2

área = (√15)*(√5/2)/2

área = (√75/2)/2

área = √75/4 cm²

área =  5√3/4 cm²

Portanto, esse é o triângulo do enunciado, e a resposta correta é a letra c). Trata-se de um triângulo isósceles.

Em relação à possibilidade de ser um triângulo escaleno, seria um triângulo com três lados diferentes e três ângulos diferentes, mas não importa porque já encontramos a resposta correta.