Question

Um triângulo ABC, retângulo em A e com perímetro igual a 36 tem vértices A(0;0), B(9;0) e C(0;y). A área desse triângulo, em unidades de área mede?




a) 15



b) 27



c) 40



d) 54



e) 108


R.: letra D

Answer 1

Vamos lá!

Sabemos que a soma de todos os lados do triângulo (Cateto adjacente + Cateto oposto + Hipotenusa) resulta em 36, pois este é o perímetro do triângulo. Então, vamos encontrar cada um deles e, em seguida, calcular a área do triângulo.

Como temos os pontos A e B já completos, vamos calcular a distância entre eles.

Calculando a distância de A até B:

$D^{2} =(XB-XA)^{2}+(YB-YA)^{2}\\ D^{2} =(9-0)^{2}+(0-0)^{2}\\ D^{2} =9^{2} \\ D^{2} =81\\ D= \sqrt{81} \\ D=9$

Já encontramos a distância de A até B que vale 9 (este lado AB é um dos catetos).

Perceba que a soma de todos os lados vale 36, então:

Perímetro = A + B + C
36 = A + B + 9
36 - 9 = A + B
27 = A + B

Portanto:

A+B=27 <= Equação (I) (guarde ela, vamos precisar depois)


De acordo com Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos => A²=B²+C²

Onde:

A² => Hipotenusa
B² => Cateto (I)
C² =>  Cateto (II)

Lembre-se que já temos um dos catetos que encontramos nos passos anteriores, onde o mesmo vale 9. Vamos substituir ele na fórmula de Pitágoras:

A²=B²+C²
A²=B²+9²
A²=B²+81
A²-B²=81 <= Equação (II)

Agora, vamos montar um sistema com a equação (I) aliada à (II).

A+B=27 <= Equação (I) 
A²-B²=81 <= Equação (II)

Calculando o sisteminha:

A+B=27 (I)
A²-B²=81 (II)

A+B=27 (I)
A=27-B (I)

A²-B²=81 (II)
(27-B)²-B²=81
729-54B+B²-B²=81
-54B=81-729
-54B=-648 (-1)
54B=648
B=648/54
B=12

Como o vértice A está no ponto (0,0), qualquer valor para B seria o valor de Yc que não possuímos. Então, concluímos que as coordenadas do ponto C vale: C(0,12)

Encontramos o valor de B. Agora, vamos achar o valor de A apenas substituindo os valores que temos de B e C.

A + B + C = 36
A + 12 + 9 = 36
A + 21 = 36
A = 36 - 21
A = 15

De cara, a gente já percebe que 'A' é a hipotenusa, pois a hipotenusa SEMPRE será maior que seus catetos em um triângulo retângulo. Portanto:

Hipotenusa => 15
Cateto (I) => 12
Cateto (II) => 9

Agora, é só aplicarmos os valores que temos na fórmula da área do triângulo (base x altura dividido por 2)

Base=> Cateto menor => 9
Altura=> Cateto maior => 12

Calculando a área do triângulo:

$A= \frac{b.h}{9} \\\\ A= \frac{9.12}{2}\\\\ A= \frac{108}{2}\\\\ A=54m^{2}$

Letra D

~~~~Resposta alternativa - MÉTODO DA GEOMETRIA ANALÍTICA ~~~~

Lembra quando achamos o ponto B que, no caso, era o Y do nosso ponto C? Pois é, já poderíamos encontrar a área do triângulo a partir dali usando os três vértices do triângulo A, B e C.

Vamos por esse método.

Montando um determinante 3x3 com os vértices do triâgulo:

$Det\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\9&0&1\\0&12&1\end{array}\right] \\ (1.0.0)+(1.12.0)+(0.9.1)-(0.0.1)-(0.1.0)-(9.12.1)\\ 0+0+0-0-0-108\\ Det=108$

Aplicando o valor do determinante na fórmula do triângulo:

$A= \frac{1}{2} |Det|\\\\ A= \frac{1}{2} |108|\\\\ A= \frac{108}{2}\\\\ A=54m^{2}$

Letra D

Até! :)