Question

Um trenzinho da montanha-russa Montezum, do
Hopi Hari passa no ponto de máxima altura h, de 42,0 m com
velocidade inicial de 72,6 km/h. Qual é sua velocidade quando descer
para a altura h/2? (Ignore a dimensão finita do trenzinho e considere o
que há conservação de energia mecânica)

Answer 1

Resposta:

Velocidade aproximadamente de 23 m/s

Explicação:

Energia cinética no ponto de altura máxima:

$\boxed{E_c = \frac{1}{2}mv_{max}^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 1}$,

onde $m$ é a massa do trenzinho e $v_{max}$ é a velocidade no ponto de altura máxima, ou seja, $v_{max} = 72,6\,km/h$, ou, para converter para metros por segundo é só dividir por 3,6, ficando $v_{max} = 20,2\,m/s$.

Energia potencia gravitacional no ponto de altura máxima:

$\boxed{E_p = mgh} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 2}$,

onde $g$ é a aceleração da gravidade e $h=42,0\,m$ é a altura máxima da montanha-russa.

A energia mecânica no ponto de altura máxima é simplesmente a soma das Eqs. 1 e 2:

$\boxed{E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + mgh} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 3}$,

Agora temos que fazer a mesma coisa depois que o trenzinho desse metade da altura.

Energia cinética para a altura h/2:

$\boxed{E_c' = \frac{1}{2}mv^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 4}$,

onde $v$ é a velocidade depois que o trenzinho na altura h/2.

Energia potencial gravitacional na altura h/2:

$E_p' = mgh'$, onde $h'$ é a nova altura, ou seja, $h' = h/2$, portanto:

$\boxed{E_p' = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 5}$,

Energia mecânica na altura h/2:

$\boxed{E_m' = E_c' + E_p' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mgh}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 6}$,

Usando que a energia mecânica se conserva, podemos igualar as Eqs. 3 e 6, ficamos com:

$E_m = E'_m$

$\frac{1}{2}mv_{max}^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mgh$,

observe que as massas se cancelam:

$\frac{1}{2}v_{max}^2 + gh = \frac{1}{2}v^2 + \frac{1}{2}gh$,

isolando o termo que contém o $v$, temos:

$\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_{max}^2 + gh -\frac{1}{2}gh$,

simplificando, temos:

$\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_{max}^2 + \frac{1}{2}gh$,

multiplicando por 2, temos:

$v^2 = v_{max}^2 + gh$,

tirando a raiz quadrada, ficamos com:

$\boxed{v =\sqrt{ v_{max}^2 + gh}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq\ 7}$,

agora é só substituir os valores numéricos na Eq. 7, temos então:

$v =\sqrt{ v_{max}^2 + gh} = \sqrt{(20,2)^2 + 9,8\times42} = \sqrt{408,04 + 117,6}$,

$v =\sqrt{408,04 + 117,6} = \sqrt{525,64}\approx22,9268\,m/s$,

portanto a velocidade na altura h/2 é de aproximadamente

$\boxed{v\approx23,\, m/s}$.