Question

Um torneio é disputado por 4 times A, B, C e D. É 3 vezes mais provável que A vença do que B, 2 vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um dos times?​

Answer 1

Resposta:

$A=\frac{9}{14} \\\\B=\frac{3}{14}\\C=\frac{3}{28}\\D=\frac{1}{28}$

Explicação passo a passo:

Para resolver essa conta precisamos saber que a probabilidade é dada entre um número de 0 a 100%. Primeiro vamos elencar os dados que a questão fornece para as chances de cada um dos times vencerem.

A=3*B

B=2*C

C=3*D

D=C/3 (a questão não diz expressamente quais são as chances do D vencer, nesse caso, a gente pode supor que é 1/3 das chances do C vencer, uma vez que o C tem 3 vezes mais chances que o D).

Considerando que 100% ($\frac{100}{100}$) = 1 (todo número divido por ele mesmo), então sabemos que a soma das chances de cada um dos times de vencer será igual a 1, portanto:

A+B+C+D=1

Temos 4 variáveis, portanto, vamos converter todas probabilidades do times em apenas 1 variável. Eu escolhi o D, por acredito que será mais fácil, no entanto, qualquer variável poderia ser escolhida em seu lugar. Vejamos: vamos converter todas as variáveis em chances de ganhar a mais que a do D.

D=D  

C=3*D (três vezes maiores que D)

B=2*C= 2*(3*D)= 6*D (2 vezes maiores que C)

A=3*B=3*(6D)=18*D (3 vezes maiores que B)

Dessa forma descobrimos que C tem 3 vezes mais chances de ganhar do que D, B tem 6 vezes e A tem 18 vezes mais chances. Agora vamos descobrir quantos porcentos as chances de D representam no total.

A+B+C+D=1

18D+6D+3D+D=1

28D=1

D=1/28

Logo, as chances do D vencer o torneio é de apenas $\frac{1}{28}$, valor que é aproximadamente 3,57%. Como sabemos as chances de vitória de D, e já convertemos anteriormente todas as variáveis em D, só precisamos substituir o valor de 1/28 nas expressões:

$A=18*D=18*\frac{1}{28} =\frac{18}{28}=\frac{9}{14} \\B=6*D=6*\frac{1}{28}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}\\C=3*D=3*\frac{1}{28}=\frac{3}{28}$