Question

Um torneio de par ou ímpar não seria televisionado, é verdade, mas a sua origem mereceria uns minutinhos da programação. O jogo é uma variação da Morra, brincadeira criada na Roma Antiga e popular até o dia de hoje, principalmente na Itália. No jogo da antiguidade, os participantes costumavam se reunir em roda e mostrar entre 1 a 5 dedos de uma das mãos. O desafio era adivinhar a soma total da roda e ganhava quem gritasse o número mais rápido. O jogo par ou ímpar também é uma forma de resolver aleatóriamente um impasse entre duas pessoas. Basta cada pessoa escolher uma das opções entre par ou ímpar e então mostar as mãos indicando certas quantidades de dedos que ao serem contados indicarão uma quantidade referente a um número par ou ímpar.

​Disponível em: Acesso em: fevereiro. 2022. (adaptado).

Com base no enunicado acima, analise a seguinte situação. Duas pessoas resolvem jogar o jogo par ou ímpar por seis vezes. Sendo assim, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I - Jogando par ou ímpar seis vezes, a probabilidade de acontecimentos dos resultados podem ser calculados pela Distribuição de Probabilidade Binomial, pois o fato de sair par ou ímpar em uma ocasião do jogo, não influencia que saia, necessariamente, o mesmo resultado acontecido na próxima ocasião do jogo, e a ordem que vai acontecer o resultado esperado, não faz a diferença. Por exemplo, jogando par ou ímpar seis vezes, acontecer quatro vezes um resultado par, podem ser nas quatros primeiras jogadas, mas podem ser nas quatros últimas jogadas ou intercalado entre as jogadas. Já a probabilidade de acontecer quatro resultados pares jogando o jogo par ou ímpar seis vezes, será de 23,44%, pois

II - Usando a distribuição Binomial temos que o sucesso é sair um número par, que em cada jogada será de 50%, uma vez que ou ocorre par ou ímpar. O insucesso será ocorrer um número ímpar que também será 50% de chance em cada jogada. O número total dos eventos serão seis, pois serão jogados seis vezes. O número total de sucessos será quatro, uma vez que prentende-se que ocorra quatro resultados pares dentre as seis jogadas. Usando a Distribuição Binomial encontra-se o resultado de 23,44% para a probabilidade de acontecer quatro resultados pares jogando o jogo par ou ímpar seis vezes.

​A respeito das asserções acima, assinale a opção correta.

Alternativas
Alternativa 1:
As asserções I e II são proposições falsas.

Alternativa 2:
As asserções I e II são proposições falsas, e a I é uma justificativa da II.

Alternativa 3:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

Alternativa 4:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Alternativa 5:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 5:

As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

Answer 2

23,44% é a probabilidade de se obter 4 vitórias em 6 partidas de par ou ímpar e isto torna a afirmativa I verdadeira.

Além disso, a afirmativa II é a explicação correta para a afirmativa I.

Como temos a afirmativa I dependendo da validade da afirmativa II, precisamos primeiro verificar que o jogo de par ou ímpar realmente dá 50% de chances de par ou impar.

Verificando que par ou impar é realmente 50-50

Vamos representar abaixo uma tabela com dois jogadores chamados jog1 e jog2.

Primeiro vamos considerar o caso em que eles só podem usar os números 0 ou 1 para jogar par ou impar:

jog1  jog2

0   0 par

0   1 impar

1   0 impar

1   1 par

Neste caso, verificamos que de fato temos 50% de par ou impar.

Vamos considerar agora um caso em que eles podem usar os números 0, 1, 2 ou 3 para verificar que continua sendo 50% par e 50% ímpar:

jog1  jog2

0   0 par

0   1 impar

0   2 par

0   3 impar

1   0 impar

1   1 par

1   2 impar

1   3 par

2   0 par

2   1 impar

2   2 par

2   3 impar

3   0 impar

3   1 par

3   2 impar

3   3 par

Faltaria fazer o caso para os valores de 1 até 5, mas dá pra ver que vai continuar sendo 50% par e 50% ímpar.

Calculo binomial para 4 vitórias em 6 jogos

O calculo binomial foi desenvolvido para obter os valores constantes (números) do binômio de newton.

O binômio de newton é representado como $(x+a)^n= x^n+nx^{n-1}a + ...$ e depois foi descoberto que este cálculo também tem serventia para calculos de probabilidade e estatística.

Por isso que usamos a fórmula abaixo para calcular a probabilidade:

$\dfrac{n!}{(n-k)!k!}p^k\cdot q^{n-k}$

Como queremos estudar o caso de k=4 vitórias em n=6 jogos com probabilidades p=50%=$\frac{1}{2}$ e q=$\frac{1}{2}$, o cálculo fica:

$\dfrac{6!}{(6-4)!4!}\frac{1}{2^4}\cdot \frac{1}{2^{6-4}}$

Resolvendo a conta passo a passo

$\dfrac{6!}{(6-4)!4!}\frac{1}{2^4}\cdot \frac{1}{2^{6-4}}$

$\dfrac{6\cdot5{\bf\cdot4!}}{2!{\bf\cdot4!}}\frac{1}{2^4}\cdot \frac{1}{2^{2}}$

$\dfrac{6\cdot5}{2}\frac{1}{2^6}$

$\dfrac{30}{2}\frac{1}{64} = 23,44\%$

Veja mais sobre binômio de newton e probabilidade em:

https://brainly.com.br/livros-didaticos/q-resolva-equacoes-array-l-9-3-array-v4sd4r

https://brainly.com.br/livros-didaticos/q-determine-formula-termo-binomios-9-a-7-tpomlx#q-determine-formula-termo-binomios-b-3-x-4r2oun

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