Question

um topografo pretende medir a distancia entre dois pontos (A e B) situados em margens opostas de um rio para isso ele escolheu um ponto C na margem em que esta e mediu os angulos A e C encontrando respectivamente 60° e 45° determine o lado AB sabendo que AC mede 16 metros

Answer 1

Resposta:

Olá!

Desenhando a situação, temos o seguinte (arquivo em anexo). Como o triângulo tem todos os ângulos distintos, o mesmo se trata de um triângulo escaleno.

Explicação passo a passo:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo mede 180º, o ângulo B irá medir:

$B = 180 - (60 + 45) = 75$

Aplicando a Lei dos Senos para o triângulo, temos:

$\frac{sen A}{BC} =\frac{sen B}{AC} =\frac{sen C}{AB}$

Aplicando para o lado AC=16m, temos que AB será:

$\frac{senB}{AC} =\frac{senC}{AB} \\\frac{sen 75}{16} =\frac{sen 45}{AB} \\AB=\frac{16.sen 45}{sen 75}$  (1)

Sabemos que o seno de 45º equivale a $\frac{\sqrt{2} }{2}$. O seno de 75 é o mesmo que fazer sen(45º + 30º).

Seno de um ângulo A mais outro ângulo B equivale a:

$sen(a+b) = senacosb+senbcosa$

Portanto:

$sen 75 = sen(45+30) = sen45cos30+sen30cos45\\sen75 = \frac{\sqrt{2} }{2} .\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} .\frac{\sqrt{2} }{2}\\sen75 = \frac{\sqrt{6} }{4} +\frac{\sqrt{2} }{4} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4}$

Substituindo em (1) temos:

$AB=\frac{16.\frac{\sqrt{2} }{2} }{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4} } \\AB=\frac{8\sqrt{2} }{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4}} \\AB=\frac{32\sqrt{2} }{\sqrt{6}+\sqrt{2} }} \\AB=\frac{32\sqrt{2} }{\sqrt{6}+\sqrt{2} }} .\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{\sqrt{6}-\sqrt{2} } \\ AB=\frac{32\sqrt{12}-64 }{6-2} \\AB= \frac{64\sqrt{3}-64 }{4} =16\sqrt{3} -16=16(\sqrt{3}-1)$

Espero ter ajudado! ^^