Question

Um topógrafo observa do ponto A o topo de um prédio e verifica em seu teodolito que o ângulo formado com a horizontal é de 30°. Esse topógrafo caminha 20m até o ponto B e verifica que o ângulo com a horizontal passa a ser de 45°, como mostra a figura. Sabendo que teodolito está a uma altura de 1,8 m do plano do chão, esse topógrafo calcula a altura do prédio.

Answer 1

A altura do prédio é, aproximadamente, 29 metros.

A figura abaixo retrata a situação descrita no enunciado.

Veja que a altura do prédio é igual a h + 1,8. Então, precisamos calcular a medida h.

Para isso, vamos utilizar a tangente no triângulo retângulo ACD.

Lembrando que tangente é igual à razão entre cateto oposto e cateto adjacente.

Dito isso, temos que:

tg(30) = h/(20 + BC)

√3/3 = h/(20 + BC)

3h = √3(20 + BC)

3h = 20√3 + √3BC

√3BC = 3h - 20√3

BC = (3h - 20√3)/√3.

Utilizando a tangente no triângulo retângulo BCD:

tg(45) = h/(3h - 20√3)/√3

1 = √3h/(3h - 20√3)

3h - 20√3 = √3h

3h - √3h = 20√3

h(3 - √3) = 20√3

h = 10 + 10√3.

Portanto, a altura do prédio é igual a 10 + 10√3 + 1,8 ≈ 29 metros.