Question

um topografo foi chamado pra obter a altura de um edifício para fazer isto ele colocou um teodolito instrumento para medir ângulos a 200m do edifício e mediu um ângulo de 30 como indicado na figura abaixo sabemos que o teodolito está a 1,5m do solo encontre a altura do edifício​

Answer 1

A altura do prédio é de aproximadamente 117 metros.

O exercício exige conhecimentos sobre as razões trigonométricas.

As razões trigonométricas são relações feitas entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Para entender o que são essas razões, precisamos antes saber como são chamados os lados de um triângulo retângulo:

• Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo de 90 graus, e é o maior lado do triângulo retângulo.
• Cateto adjacente: tendo como referência um dos ângulos do triângulo, o cateto adjacente será o lado compreendido entre o ângulo de 90° e o ângulo de referência.
• Cateto oposto: é o lado oposto ao ângulo de referência.

As razões trigonométricas baseiam-se nestes lados. São elas:

$seno: \dfrac{cateto~oposto}{hipotenusa} \\\\\\cosseno: \dfrac{cateto~adjacente}{hipotenusa}\\\\\\tangente: \dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}$

Tendo estas informações, podemos resolver o exercício.

Note que na figura há um triângulo retângulo, cujo cateto oposto é um pedaço da altura do prédio na qual chamaremos de x, e cateto adjacente é a distância entre o prédio e o teodolito, que é 200m.

Iremos utilizar a tangente de 30º, cujo valor é $\frac{\sqrt{3} }{3}$. Utilizando as razões trigonométricas, teremos que:

$tan(30^{o}) = \dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente} \\\\\\ tan(30^{o}) = \dfrac{x}{200}\\\\\\\frac{\sqrt{3} }{3} = \dfrac{x}{200}\\\\3~.~x = \sqrt{3}~.~200\\\\3x = 200\sqrt{3} \\\\\boxed{x = \dfrac{200\sqrt{3} }{3}}$

Note que x corresponde a uma parte da altura do prédio. Como o teodolito foi colocado a 1,5 m do solo, devemos somar esta distância com a altura:

$\boxed{\frac{200\sqrt{3} }{3} + 1,5 = 116,97}$

A altura do prédio é de aproximadamente 117 metros.