Question

Um tipo de planta é cultivada para venda. Essas plantas só devem ser colocadas a venda a partir do momento que sua altura for de 30 cm. Para entender melhor o crescimento desse tipo de planta, um matemático da UFABC junto de um botânico decidiram modelar o crescimento da planta, a partir de uma função. Dessa forma, o matemático após observar diversas mudas dessa planta chegou a conclusão de que: a altura máxima da planta é sempre 40 cm e que a fórmula para a altura h da planta (em cm) em função do tempo t (em dias) é essa dada abaixo. Desse modo, a partir do momento em que a planta for colocada à venda, em quantos dias ela atingirá a sua altura máxima? *
h= 5. log2(t+1)

Answer 1

a altura procurada é 30m.

40= 5.log2(t+1)

40/5= Log2(t+1)

8 = Log2(t+1)

2^8= t+1

256 = t+1

t = 256-1

t = 255 dias.

att Colossoblack

Answer 2

A planta atingirá a sua altura máxima 255 dias após ser colocada à venda.

$\mathsf{\dotfill}$

Resolução:

Quando a planta é colocada à venda, ela possui 30 cm. A função que descreve o seu crescimento é:

$\fbox{\mathsf{h=5\cdot \log_{2}(t+1)}}$

em que h representa a altura da planta no tempo t em dias.

Deseja-se saber em quantos dias a planta atingirá a altura máxima, ou seja, 40 cm. Para isso, precisamos resolver a seguinte equação logarítmica:

$\mathsf{5\cdot \log_{2}(t+1)=40}$

De início, vamos fatorar o 40:

$\begin{array}{r|l}40&2\\20&2\\10&2\\5&5\\1\end{array}$

Então, 40 na forma fatorada é $\mathsf{40= 2^3 \cdot 5}$

Voltando à equação e substituindo 40 por sua forma fatorada, temos:

$\mathsf{5\cdot \log_{2}(t+1)= 5 \cdot 2^3}\implies\\\implies\mathsf{\log_{2}(t+1)=2^3}\implies\\\implies\mathsf{\log_{2}(t+1)=8}$

Definição de logaritmo: $\mathsf{\log_{a} b= x \iff a^{x}=b, a, b\in\mathbb{R}, 1\neq a >1, b>0}$

Dessa forma:

$\mathsf{\log_{2}(t+1)=8}\iff\mathsf{2^8=t+1}\iff\\\iff\mathsf{t+1=256}\implies\mathsf{t=256-1}\implies\\\implies\fbox{\mathsf{t=255}}$

Logo, a planta atingirá a sua altura máxima 255 dias após ser colocada à venda.

Obs.: Veja no anexo que quando t= 255, temos h(t)=40.