Question

Um time de futebol possui 22 jogadores, entre titulares e reservas. Suas camisas são numeradas de 1 a 22, assim como seus armários, no vestiário do clube onde treinam. Depois de um jogo em que tiveram um excelente resultado, os jogadores resolveram fazer uma brincadeira. O jogador com a camisa 1 passou pelos 22 armários que estavam fechados, e abriu cada uma das portas. Em seguida, o jogador com a camisa 2, passou por todas as portas, também, mas fechou apenas as que tinham números múltiplos de 2 (2, 4, 6…). O jogador com a camisa 3 foi o próximo, e passou pelos armários mudando a situação de todas as portas com múltiplos de 3: se a porta estava fechada, ele a abria. Se estivesse aberta, ele a fechava. A brincadeira continuou com cada um dos 22 jogadores, e cada um mudou a situação dos armários cujos números eram múltiplos dos números da sua camiseta. Após o jogador de número 22 fazer a sua parte na brincadeira, sobraram alguns armários abertos e outros fechados. Quantos armários ficaram abertos?

Answer 1

Como o aluno $n$, abrirá ou fechará os armário cuja a numeração é divisível por [tex]n[\tex].

Como todos armários estavam fechados de início, precisaremos de abri-lo e fecha-lo um número ímpar de vezes para ele terminar aberto (tipo ele começa fechado F e vai: A-F-A, ou A-F-A-F-A-F-A). Assim os armários que ficarão abertos serão os que tem um número ímpar de divisores. Também observamos que ao fatorarmos esses números cada fator primo terá expoente par (36=2²*3²).

Dessa forma concluímos que os armários abertos são quadrados perfeitos.

Logo os abertos são 1-4-9-16

Answer 2

Pode-se afirmar que 4 armários ficaram abertos.

Para responder corretamente, você deverá levar em consideração que:  

--> todos armários estavam fechados no início;

--> é necessário abrir e fechar um número ímpar de vezes para que ao final, ele termine aberto;

--> o aluno n , abrirá ou fechará os armário cuja a numeração é divisível por ''n'',

--> observe que ao fazer a fatoração desses números, cada fator primo terá um expoente par, por exemplo: 36=2²*3²;

Sendo assim, podemos concluir que os armários que ficarão abertos serão aqueles que tem um número ímpar de divisores.

Por conta disso, podemos inferir que o número de armários abertos serão quadrados perfeitos, ou seja, 1-4-9-16.

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