Question

Um time de futebol conseguiu um terreno para seu futuro centro de treinamento (CT). O terreno tem a forma de um triângulo retângulo e suas dimensões são apresentadas na figura a seguir. O projeto de construção do CT prevê um muro ligando os pontos A e C. Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo com vértice em A, calcule a medida, em metros, do muro AC.

Answer 1

Vamos chamar de x a distância CD e de y a distância AC.

Como AD é bissetriz, então pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que:

$\frac{3}{2} = \frac{y}{x}$
$y= \frac{3x}{2}$

Como ΔABC é triângulo retângulo, então, pelo Teorema de Pitágoras:

$y^2=(x+2)^2+3^2$
$( \frac{3x}{2})^2=x^2+4x+4+9$
$\frac{9x^2}{4} = x^2+4x+13$
$9x^2=4x^2+16x+52$
$5x^2-16x-52=0$

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = (-16)² - 4.5(-52)
Δ = 256 + 1040
Δ = 1296
$x= \frac{16+- \sqrt{1296}}{2.5}$
$x= \frac{16+-36}{10}$

$x'= \frac{16+36}{10} = \frac{52}{10} = 5,2$
$x"= \frac{16-36}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

Logo, x = 5,2 hm e, por consequência, $y = \frac{3.5,2}{2} = \frac{15,6}{2} = 7,8$.

Em metros, y = 780 m, ou seja, a medida do muro AC é de 780 metros.