Question

Um tetraedro regular é uma pirâmide regular triangular que possui todas as arestas congruentes entre si; logo, as quatro faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros. Considerando um tetraedro regular com 6 cm de aresta, calcule:

a) a medida "m" do apótema do tetraedro;
b) a medida "r" do apótema da base do tetraedro;
c) a medida "H" da altura do tetraedro;
d) a área total "At" do tetraedro;
e) o volume do tetraedro;

Answer 1

Apótema do tetraedro

O apótema do tetraedro é igual a altura da face

$\mathsf{m=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{6 \sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{m=3 \sqrt{3}\ cm}$


Apótema da base

O apótema da base é igual a 1/3 da altura da face

$\mathsf{r=\dfrac{h}{3}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{3 \sqrt{3}}{3}}\\\\\\ \mathsf{r= \sqrt{3}\ cm}$


Altura do tetraedro

Marcando o triângulo retângulo, basta usar o Teorema de Pitágoras

$\mathsf{H^{2}+r^{2}=m^{2}}}\\\\ \mathsf{H^{2}+ (\sqrt{3})^{2}=(3 \sqrt{3} )^{2}}}\\\\ \mathsf{H^{2}+3=27}}\\\\ \mathsf{H^{2}=24}}\\\\ \mathsf{H=2 \sqrt{6}\ cm}$


Área total do tetraedro

A área do tetraedro é igual a 4x a área da face

$\mathsf{Af=\dfrac{l^{2} \sqrt{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{Af=\dfrac{6^{2} \sqrt{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{Af=\dfrac{36 \sqrt{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{Af=9 \sqrt{3}\ cm^{2}}\\\\\\ \mathsf{At=4\cdot 9\cdot \sqrt{3}}\\\\ \mathsf{At=36\cdot \sqrt{3}\ cm^{2}}$


Volume do tetraedro

$\mathsf{V=\dfrac{B\cdot H}{3}}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{9\sqrt{3}\cdot 2 \sqrt{6}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{18\cdot 3 \cdot\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V=18 \sqrt{2}\ cm^{2}}$


Bons estudos! =)