Question

Um tetraedro regular é um tipo particular de pirâmide regular no qual qualquer uma de suas faces pode ser considerada base, haja vista ser formado por 4 regiões triangulares congruentes e equiláteras. Considerando essa informação, a área total de um tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm é, em centímetros quadrados igual a:

$\sqrt{3} =1.7$

Answer 1

Com base na área de cada triângulo, concluímos que o tetraedro possui uma área total de 61,20 cm²

Se cada lado da pirâmide é um triângulo equilátero, vamos encontrar a área desse triângulo e depois, basta multiplicar por 4.

$\bullet ~\large A_{T} = \acute{A}rea ~do ~Tri\hat{a}ngulo = \dfrac{B . h}{2}$

Agora temos que encontrar a Altura desse triângulo (Veja a figura anexa)

Considerando a metade do triângulo, temos um triângulo retângulo e vale o Teorema de Pitágoras:

$\large hipotenusa^2 = cateto^2 + cateto^2$

                 $\large 6^2 = 3^2 + Altura^2$

                 $\large 36 = 9 + Altura^2$

       $\large Altura^2 = 36 - 9$

        $\large Altura = \sqrt{27}$            (27 = 9 . 3)

        $\large Altura = \sqrt{9 \cdot 3}$       =    $\large \sqrt{3 \cdot9 } = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3}$

        $\large Altura = 3\sqrt{3}$

Como √3 = 1,7 ⇒ 3√3 = 3 . 1,7 ⇒ Altura = 5,10

Agora conseguimos calcular a área:

$\large A_{T} = \dfrac{B . h}{2}$    

B = Base = 6 cm

h = Altura = 5,10 cm

$\large A_{T} = \dfrac{6 \cdot 5,10}{2}$

$\large A_{T} = 3 \cdot 5,10$

$\large \text { \boxed{ A_{T} = 15,30 ~cm^2} }$ ⇒ Área de UM triângulo

Como a pirâmide tem 4 desses triângulos, então:

$\large A_{Total} = 4\cdot 15,30$

$\large \text { \boxed{\boxed{A_{Total} = 61,20 ~cm^2}} }$  ⇒ Área total do Tetraedro

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