Question

Um terreno tem a forma de um quadrilátero com 815 m de perímetro e seus lados a, b, c e d são tais que 2a = (3b)/2 = (4c)/3 = (5d)/4. O comprimento do
menor dos lados desse terreno, em metros, é:

Answer 1

Pela informação do perímetro do quadrilátero, podemos escrever que

$a+b+c+d=815\;\;\;\;\text{(i)}$


Colocando as medidas dos lados $b,\,c,\,d$ em função de $a$, temos:

$\bullet\;\;2a=\dfrac{3b}{2}\\ \\ 2\cdot 2a=3b\\ \\ 3b=4a\\ \\ \boxed{b=\dfrac{4a}{3}}\\ \\ \\ \bullet\;\;2a=\dfrac{4c}{3}\\ \\ 3 \cdot 2a=4c\\ \\ 4c=6a\\ \\ c=\dfrac{6a}{4}\\ \\ \boxed{c=\dfrac{3a}{2}}\\ \\ \\ \bullet\;\;2a=\dfrac{5d}{4}\\ \\ 4\cdot 2a=5d\\ \\ 5d=8a\\ \\ \boxed{d=\dfrac{8a}{5}}$


Substituindo na equação $\text{(i)}$, temos

$a+\dfrac{4a}{3}+\dfrac{3a}{2}+\dfrac{8a}{5}=815\\ \\ \dfrac{30a+40a+45a+48a}{30}=815\\ \\ \dfrac{163a}{30}=815\\ \\ 163a=30\cdot 815\\ \\ a=\dfrac{30 \cdot 815}{163}\\ \\ a=30\cdot 5\\ \\ a=150\text{ m}$


Substituindo de volta para encontrar as medidas dos outros lados, temos

$b=\dfrac{4a}{3}\\ \\ b=\dfrac{4 \cdot 150}{3}\\ \\ b=4 \cdot 50\\ \\ b=200\text{ m}\\ \\ \\ c=\dfrac{3a}{2}\\ \\ c=\dfrac{3\cdot 150}{2}\\ \\ c=3 \cdot 75\\ \\ c=225\text{ m}\\ \\ \\ d=\dfrac{8a}{5}\\ \\ d=\dfrac{8\cdot 150}{5}\\ \\ d=8 \cdot 30\\ \\ d=240\text{ m}$


O lado de menor comprimento é o lado $a$, com $150\text{ m}$.