Question

um terreno serão plantadas 120 árvores de uma determinada fruta. Espera-se que cada árvore produza em média 400 frutas. Nesse mesmo terreno, para cada árvore adicional plantada espera-se, em média, um rendimento de duas frutas a menos por árvore. Qual será o n° de árvores adicionais a serem plantadas para que o pomar produza o máximo de frutas? Qual é essa produção máxima (A fórmula please)

Answer 1

Na condição inicial, temos 120 árvores produzindo 400 frutas cada, portanto, a produção total de frutas é igual a P(n) = 400n, onde n = 120.


Para cada árvore a mais, temos um rendimento de duas frutas a menos por árvore, então, ao plantar n novas árvores, o rendimento por árvore decresce de 2n. Podemos escrever que a produção de frutas depende do número de árvores plantadas:


P(n) = (400 - 2n)(120 + n)
P(n) = 48000 - 240n + 400n - 2n²
P(n) = -2n² + 160n + 48000


Cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, podemos encontrar a produção máxima obtendo a coordenada y do vértice através da fórmula:


$Yv =- \dfrac{b^2-4ac}{4a} \\ \\ Yv =- \dfrac{160^2-4(-2)(48000)}{4(-2)} \\ \\ Yv =- \dfrac{25600+384000}{-8} \\ \\ Yv = 51200$