Um terreno retangular tem perimetro de 70m e a medida de seus lados correspondem aos termos da expressão x²+7x+10 quando fatorada. As dimensões do terreno são:
A) 18 m • 17 m
B) 19 m • 16 m
C) 20 m • 15 m
D) 21 m • 14 m
Soluções para a tarefa
Resposta:
Sabendo-se as raízes r₁ e r₂ de uma equação do 2º grau, podemos fatorá-la da seguinte forma:
E = (x - r₁) . (x - r₂)
Sendo assim, vamos resolver a equação x² + 7x + 10 para conseguirmos fatorá-la. Para isso usarei formula de Bhaskara.
A forma fatorada da equação é então:
E = (x - (-2)) . (x - (-5))
E = (x+2) . (x+5)
Sendo assim as medidas dos lados do retângulo os binômios (x + 2) e (x + 5). Seu perímetro é a soma de todos os lados, que sabemos que é 70 m. Assim, podemos encontrar o valor de x fazendo:
2(x + 2) + 2(x + 5) = 70
2x + 4 + 2x + 10 = 70
4x = 70 - 14
4x = 56
x = 14
As medidas dos lados do terreno são então:
x + 2 → 14 + 2 = 16 metros
x + 5 → 14 + 5 = 19 metros.
Alternativa B.
Primeiramente, vamos fatorar a expressão: x² + 7x + 10:
x² + 7x + 10 = (x + a) ( x + b)
Sabemos que:
a * b = 10
a + b = 7
Os números que seguem esse sistema são 2 e 5, dessa forma:
x² + 7x + 10 = (x+2)*(x+5)
Então temos que a maior área do retângulo tem 3 unidades a mais que o menor, dessa forma, já saberíamos responder que a resposta correta é a letra B. mas vamos continuar a resolução:
Temos que o perímetro do retângulo é igual a 70 metros, ou seja, a soma de todos os seus lados é igual a 70, dessa forma:
(x+2) + (x+5) + (x+2) + (x+5) = 70
4x + 14 = 70
x = 56/4
x = 14
O menor lado equivale a: (x+2) = (14 + 2 ) = 16.
O maior lado equivale a: (x+5) = (14 + 5) = 19.
Resposta, letra B.