Question

Um terreno retangular é cercado por 1500m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a sua área seja a maior possível ? E qual a área máxima ?

Answer 1

A maior área entre retângulos de mesmo perímetro ocorre quando os lados são iguais , isto é, o retângulo é um quadrado.
Logo o lado mede 1500 / 4 = 375m e a área é 375²  = 140625m²
Resposta  ; quadrado de lado 375m e área 140.625m²

Answer 2

Olá, Cláudia :)
✩✩✩✩✩
✩✩✩✩✩


O cercado apresenta uma forma retangular, e não são conhecidas as dimensões que o cercado deve apresentar, destarte x e y serão os lados do retangulo.

O perímetro do cercado é,

$\mathsf{ 2( \green{x + y} ) = 1500 } \\ \\ \mathsf{ \green{x + y} = \dfrac{1500}{2} } \\ \\ \mathsf{ \green{x + y} = 750}$


A área do rectângulo será,

$\mathsf{ A = \green{x \cdot y } }$

Com o perímetro, têm-se ,

$\mathsf{ \green{x} = 750 - \green{y } }$

Logo,

$\mathsf{ A = \green{y(750 - y)} } \\ \\ \mathsf{A = \green{750y - y^2} }$

Podemos derivar a função para achar as dimensões (comprimento e a largura) do cercado,

$\mathsf{A'(y) = \green{750 - 2y}}$

com, $\mathsf{A'(y) = \green{0}}$

$\mathsf{\green{0} = \green{750 - 2y}} \\ \\ \mathsf{ \green{2y} = \green{750} } \\ \\ \mathsf{ \green{y} = \green{\dfrac{750}{2} } } \\ \\ \mathsf{ \green{y} = \green{375}m }$

A outra dimensão será,

$\mathsf{ \green{x} = 750 - \green{ y} } \\ \\ \mathsf{ \green{x} = 750 - \green{375} } \\ \\ \mathsf{\green{x} = \green{375}m }$

A área máxima será,

$\mathsf{ A = \green{x \cdot y } } \\ \\ \mathsf{ A = \green{375 \cdot 375 } } \\ \\ \mathsf{ A = \green{140625}m^2 }$

Resposta: As dimensões do cercado são de 375m por 375m e a sua área máxima é equivalente a 140625m² .



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