Question

um terreno retangular é cercado por 1500 metros de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que sua área seja a maior possível? E qual a área máxima?

Answer 1

Boa tarde Fernando  

2x + 2y = 1500
x + y = 750
y = 750 - x

área
A = xy = x*(750 - x)
A = -x² + 750x

vértice
x = -750/-2 = 375

y = 750 - x = 750 - 375 = 375

a) 375 m por 375 m

b) Amax = -x² + 750x = -(375)² + 750*375 = 140625 m²

Answer 2

Olá, Fernando :)
✩✩✩✩✩
✩✩✩✩✩

O cercado apresenta uma forma retangular, e não são conhecidas as dimensões que o cercado deve apresentar, destarte x e y serão os lados do retangulo.

O perímetro do cercado é,

$\mathsf{ 2( \green{x + y} ) = 1500 } \\ \\ \mathsf{ \green{x + y} = \dfrac{1500}{2} } \\ \\ \mathsf{ \green{x + y} = 750}$


A área do rectângulo será,

$\mathsf{ A = \green{x \cdot y } }$

Com o perímetro, têm-se ,

$\mathsf{ \green{x} = 750 - \green{y } }$

Logo,

$\mathsf{ A = \green{y(750 - y)} } \\ \\ \mathsf{A = \green{750y - y^2} }$

Podemos derivar a função para achar as dimensões (comprimento e a largura) do cercado,

$\mathsf{A'(y) = \green{750 - 2y}}$

com, $\mathsf{A'(y) = \green{0}}$

$\mathsf{\green{0} = \green{750 - 2y}} \\ \\ \mathsf{ \green{2y} = \green{750} } \\ \\ \mathsf{ \green{y} = \green{\dfrac{750}{2} } } \\ \\ \mathsf{ \green{y} = \green{375}m }$

A outra dimensão será,

$\mathsf{ \green{x} = 750 - \green{ y} } \\ \\ \mathsf{ \green{x} = 750 - \green{375} } \\ \\ \mathsf{\green{x} = \green{375}m }$

• A área máxima será,

$\mathsf{ A = \green{x \cdot y } } \\ \\ \mathsf{ A = \green{375 \cdot 375 } } \\ \\ \mathsf{ A = \green{140625}m^2 }$

Resposta: As dimensões do cercado são de 375m por 375m e a sua área máxima é equivalente a 140625m² .



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