Question

Um terreno quadrangular regular (quadrado abcd) sera usado para a apresentacao de um show. Uma área triangular abe foi reservada para pessoas da pista especial. Sabe-se que o triângulo ABE é equilátero e que será necessário projetar um laser do vértice (D) ao vértice (E) e do vértice (D) ao vértice (B), conforme representado na figura abaixo.

nessas condições, a medida do angulo BDE, em graus, é?

Answer 1

Resposta:

A medida do ângulo BDE é 30°.

Explicação passo a passo:

Do desenho do terreno, sabemos que:

$ADE=ADB+BDE\\BDE=ADE-ADB$

Para determinar o ângulo BDE, vamos primeiro encontrar os valores de ADE e ADB.

1. Calculando ADE

Como o triângulo ABE é equilátero, então todos os seus ângulos internos são iguais. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.

Então, o ângulo BAE, que é um ângulo interno do triângulo ABE, mede:

$BAE=\frac{180^{o}}{3} =60^{o}$

Por outro lado, se ABCD é um quadrado, então cada um dos ângulos internos do quadrado é 90°. Ou seja, o ângulo BAD mede:

$BAD=90^{o}$

Pelo desenho do terreno, podemos dizer que:

$EAD+BAE=BAD\\EAD+60^{o} =90^{o}\\EAD=90^{o}-60^{o} \\EAD=30^{o}$

Do enunciado, ABCD é um quadrado. Como todos os lados do quadrado são iguais, então:

$AD=AB$

Se o triângulo ABD é equilátero, isso significa que todos os seus lados também são iguais. Ou seja:

$AB=AE=EB$

Assim, podemos concluir que:

$AD=AE$

Se AD=AE, então o triângulo ADE é isósceles, pois ele possui dois lados iguais.

Como a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180, então, no triângulo ADE:

$EAD+ADE+DEA=180^{o}\\30^{o}+ADE+DEA=180^{o}\\ADE+DEA=180^{o}-30^{o}\\ADE+DEA=150^{o}$

Além de ter dois lados iguais, um triângulo isósceles tem dois ângulos internos iguais. Como o triângulo ADE é isósceles, então os ângulos internos iguais são:

$ADE=DEA$

Então, temos que:

$ADE+DEA=150^{o}\\ADE+ADE=150^{o}\\2*ADE=150^{o}\\ADE=\frac{150^{o}}{2}\\ADE=75^{o}$

2. Calculando ABD

Como ABCD é um quadrado, cada um dos ângulos internos do quadrado é 90°. Logo, o ângulo ADC é igual a 90°. Este ângulo é divido ao meio pela diagonal BD e, portanto,

$ADB=45^{o}$.

3. Calculando BDE

Como afirmamos no começo da resolução:

$BDE=ADE-ADB\\BDE=75^{o}-45^{o}\\BDE=30^{o}$

Então, finalmente, podemos afirmar que a medida do ângulo BDE, em graus, é 30°.