Question

Um terremoto foi medido em uma nova escala através da função M=3/4log5(7E/E0), sendo M a magnitude do terremoto nessa escala, E a energia liberada por esse terremoto, em KWh, E0 uma constante real positiva. Determine a magnitude de um terremoto que libera uma energia igual ao valor da constante E0. Em seguida, determine o valor da razão E/E0 para um terremoto cuja magnitude foi de 2,1 nesta escala. Expresse esse valor por meio de uma única potência. Para os cálculos desses 2 pedidos, considere que log2 = 0,3 e log7 = 0,84.

Answer 1

Temos a seguinte expressão de magnitude:

$\: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: \sf M = \frac{3}{4} log_{5} \left( \frac{ 7 E}{ E_0 }\right)$

Primeiro é pedido o cálculo da magnitude de um terremoto que libera uma energia (E) igual ao valor da constante (E0), ou seja, podemos considerar que nesse caso temos E = E0, substituindo essa informação na relação:

$\sf M = \frac{3}{4} log_{5} \left( \frac{ 7E_0}{ E_0} \right) \: \: \to \: \: M = \frac{3}{4} log_{5} ( 7)$

Note que a questão nos informa o valor do log7, sendo que obtemos o log de 7 na base 5, ou seja, para se adequar ao dado fornecido, devemos fazer uma mudança para a base 10:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf log_{a}(c) = \frac{ log_{b}(c) }{ log_{a}(b) } }$

Aplicando isso no nosso logarítmo:

$\sf log_{5}(7) = \frac{ log_{10}(7) }{ log_{10}(5) }$

Substituindo essa informação onde paramos:

$\sf M = \frac{3}{4} . \left( \frac{ log_{10}(7) }{ log_{10}(5) } \right)$

Como sabemos, 5 pode ser escrito como a divisão de 10 por 2, então:

$\sf M = \frac{3}{4} . \left( \frac{ log_{10}(7) }{ log_{10}( \frac{10}{2} ) } \right)$

Utilizando a propriedade da divisão dos logarítmos, podemos reescrever como:

$\sf M = \frac{3}{4} .\left( \frac{ log_{10}(7) }{ log_{10}(10) - log_{10}(2) } \right) \\ \\ \sf M = \frac{3}{4} . \left( \frac{ log_{10}(7) }{1 - log_{10}(2) } \right)$

Agora sim podemos substituir as informações fornecidas no enunciado:

$\sf M = \frac{3}{4} . \frac{0,84 }{1 -0,3} \: \: \to \: \: M = \frac{2,52}{ 2,1 } \\ \\ \boxed{ \boxed{\boxed{ \sf M = 0,90 }}}$

Essa é a magnitude quando o terremoto libera uma energia igual a constante E0. Agora devemos calcular a razão E/E0 para um terremoto com magnitude 2,1. Substituindo os dados:

$\sf 2,1 = \frac{3}{4} log_{5} \left( \frac{7 E}{E_0} \right)$

Vamos começar modificando o logaritmando:

$\sf 2,1 = \frac{3}{4} log_{5} \left(7 \: . \: \left( \frac{ E}{E_0} \right)\right)$

Aplicando a propriedade da multiplicação de log:

$\sf 2,1 = \frac{3}{4} log_{5} \left(7 \: . \: \left( \frac{ E}{E_0} \right)\right) \\ \\ \sf 2,1 = \frac{3}{4} log_{5}(7) + \frac{3}{4} log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right)$

A mudança de base para o cálculo do log de 7 já foi realizada, então:

$\sf2,1 = \frac{3}{4} . \left( \frac{ log_{10}(7) }{1 - log_{10}(2) } \right) + \frac{3}{4} . log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right) \\ \\ \sf 2,1 = 0,90+ \frac{3}{4} . log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right) \\ \\ \sf 2,1 -0,90 = \frac{3}{4} . log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right) \\ \\ \sf \frac{3}{4} .log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right) =1,2\\ \\ \sf 3. log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right) = 4,8\\ \\ \sf log_{5}\left( \frac{ E}{E_0} \right) = 1,6\\ \\ \boxed{\sf \frac{ E}{E_0} = 5 {}^{1,6} }$

Espero ter ajudado, creio que seja isto.