Question

Um técnico de futebol de salão arma seu time
com 1 goleiro, 2 defensores e 2 atacantes. Para
escalar o time, o técnico dispõe de 2 goleiros, 4
defensores e 5 atacantes. O número de modos
diferentes que este técnico tem para escalar o
time é:

a) 60 modos
b) 90 modos
c) 100 modos
d) 120 modos
e) 150 modos

Answer 1

O técnico deseja formar um time, e precisa escolher

1 goleiro entre 2 disponíveis;

2 defensores entre 4 disponíveis;

2 atacantes entre 5 disponíveis.

A quantidade de maneiras que podemos formar uma comissão de k pessoas, entre n pessoas disponíveis é dada pela fórmula de combinações simples:

    $\mathsf{\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

Então, a quantidade de formas que o técnico tem para escolher o goleiro é

    $\mathsf{\dbinom{2}{1}=\dfrac{2!}{1!\cdot (2-1)!}=\dfrac{2!}{1!\cdot 1!}=\dfrac{2\cdot 1}{1\cdot 1}=2}$

para escolher os defensores é

    $\mathsf{\dbinom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}=\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6}$

para escolher os atacantes é

$\mathsf{\dbinom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\dfrac{5!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{\diagup\!\!\!\!\! 2!\cdot 3!}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10}$

Pelo princípio multiplicativo, a quantidade de maneiras que o técnico pode escalar o time é

    $\mathsf{2\cdot 6\cdot 10=120~maneiras.}$

Resposta: alternativa d) 120 modos.

Bons estudos! :-)