Question

Um tanque tem o formato de um cone circular reto invertido, e armazena petróleo, esvaziando-o pelo vértice. Quando o nível de petróleo está a uma altura de 20 metros, há 1500π m³ de petróleo. Depois de retirados do tanque 1404π m³ de petróleo, a que altura, aproximadamente, estará o seu nível no tanque, em metros?​

Answer 1

Resposta:

h = 8 m

Explicação passo-a-passo:

O raciocínio foi montado na seguinte premissa: à medida que o volume diminui, a altura e o raio do cone também diminuem, mas numa razão invariável entre o raio e a altura (r/h), que é a tangente do ângulo do vértice, formado entre a altura e a geratriz.

1) Cálculo do raio com V e h iniciais:

$v = \frac{1}{3} \pi {r}^{2} h \\ 1500\pi = \frac{20}{3} \pi {r}^{2} \\ {r}^{2} = \frac{4500}{20} = 225 \\ r = 15 \: m$

2) Cálculo da razão r/h = tg (vértice):

$\frac{r}{h} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \\ r = \frac{3}{4} h$

3) Cálculo da altura com base no novo volume:

$v = 1500\pi - 1404\pi \\ v = 96\pi \\ 96\pi = \frac{\pi}{3} ( { \frac{3h}{4} )}^{2}h \\96= \frac{9 {h}^{2} }{3 \times 16} h = \frac{9 {h}^{3} }{48} \\ {h}^{3} = \frac{96 \times 48}{9} \\ {h}^{3} = 512 \\ h = 8 \: m$