Question

Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 3 metros e raio do topo circular medindo 2 metros.

Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água, a uma vazão constante de 3 litros por minuto.


Assim, o volume de água no instante t é dado por


V(t) = 3t,


em que V em litros ($dm^3$) e t em minutos.


Exprima a altura h, do nível da água, em função de t.


Exprima a velocidade $\frac{dh}{dt}$ com que sobe o nível (altura) h da água, em função do tempo t.


Explique porque não se define $\frac{dh}{dt}$ no instante t = 0.


Calcule o limite $\lim_{t \to 0} \frac{dh}{dt}$


Informação útil: O volume de um cone de altura h, e raio da base (ou topo) r, é dado por V= $\frac{1}{3}.\pi.r^2.h$

Answer 1

Não é possível realizar a determinação da velocidade quando começa a encher.

Sendo assim, vamos aos dados e resoluções:

Considerando o triângulo específico chamado invertido e também sabemos que o sólido gerado pela rotação em torno do eixo AB é um cone de altura H e raio R. De forma, que a função da mesma irá ser dada por H e R.

Então devemos realizar o cálculo da semelhança de triângulos:

R/H = r/h

r = Rr/H

Logo, a função do volume de água em função de R, de h e H será de:

V = 1/4π.r².h = π.R².h³/3H²

Então devemos utilizar o método da derivação em cadeia:

k = π.R².h³/3H² .  dh/dt

dh/dt = kH² / π.R².h²

Temos então que a velocidade de subida da água irá ser inversamente proporcional ao quadrado da sua profundidade.

Onde quando o tanque passa a encher temos que h = 0, não sendo possível determinar a velocidade nesse momento.

Bons estudos!