Matemática, perguntado por lauraselotti, 1 ano atrás

Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 3 metros e raio do topo circular medindo 2 metros.


Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água, a uma vazão constante de 3 litros por minuto.


Assim, o volume de água no instante t é dado por


V(t) = 3t,

em que V em litros (dm^3) e t em minutos.

Exprima a altura h, do nível da água, em função de t.

Exprima a velocidade dh/dt com que sobe o nível (altura) h da água, em função do tempo t.

Explique porque não se define dh/dt no instante t = 0.

Calcule o limite \lim_{t \to \\0} \frac{dh}{dt}

Informação útil: O volume de um cone de altura h, e raio da base (ou topo) r, é dado por V=\frac{1}{3}.\pi.r^{2} .h.


Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por bryanavs
6

Não podemos determinar a velocidade quando começa a encher.

Vamos aos dados/resoluções:  

Esse é um triângulo específico denominado invertido e também possuímos a informação que o sólido gerado pela rotação em torno do eixo AB é um cone de altura H e raio R, com isso, a função da mesma será dado por H e R.

Tirando a semelhança de triângulos, então:  

R/H = r/h ;  

r = Rr/H

Logo, a função do volume de água em função de R,h e H será:

V = 1/4π.r².h =  

π.R².h³/3H² ;  

Pelo método de derivação em cadeia, chegaremos:  

k = π.R².h³/3H² .  dh/dt ;  

dh/dt = kH² / π.R².h² ;  

Com isso, finalizamos que a velocidade de subida da água será inversamente proporcional ao quadrado de sua própria profundidade porque quando o tanque começar a encher teremos que h = 0, logo não podemos determinar a velocidade quando o mesmo começa a encher.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)

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