Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 3 metros e raio do topo circular medindo 2 metros.
Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água, a uma vazão constante de 3 litros por minuto.
Assim, o volume de água no instante t é dado por
V(t) = 3t,
em que V em litros () e t em minutos.
Exprima a altura h, do nível da água, em função de t.
Exprima a velocidade dh/dt com que sobe o nível (altura) h da água, em função do tempo t.
Explique porque não se define dh/dt no instante t = 0.
Calcule o limite
Informação útil: O volume de um cone de altura h, e raio da base (ou topo) r, é dado por V=.
Soluções para a tarefa
Não podemos determinar a velocidade quando começa a encher.
Vamos aos dados/resoluções:
Esse é um triângulo específico denominado invertido e também possuímos a informação que o sólido gerado pela rotação em torno do eixo AB é um cone de altura H e raio R, com isso, a função da mesma será dado por H e R.
Tirando a semelhança de triângulos, então:
R/H = r/h ;
r = Rr/H
Logo, a função do volume de água em função de R,h e H será:
V = 1/4π.r².h =
π.R².h³/3H² ;
Pelo método de derivação em cadeia, chegaremos:
k = π.R².h³/3H² . dh/dt ;
dh/dt = kH² / π.R².h² ;
Com isso, finalizamos que a velocidade de subida da água será inversamente proporcional ao quadrado de sua própria profundidade porque quando o tanque começar a encher teremos que h = 0, logo não podemos determinar a velocidade quando o mesmo começa a encher.
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)