Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e 2m de raio da base. Se a ´agua entra no tanque `a raz˜ao de 0,001m3/min, calcule a raz˜ao na qual o n´ıvel da ´agua est´a subindo quando a profundidade ´e de 1m.
Soluções para a tarefa
A altura(h) e o diâmetro do cone se relacionam da seguinte forma: d = 4 e d = 2.r = 4, ou seja "d = h".
A vazão(Q), é dada pela fórmula Q = V/t, onde V, é o volume e t, é o tempo.
Vazão(Q) significa a variação do volume em relação ao tempo. Do Cálculo, Q = dV/dt.
Da regra da cadeia(Cálculo), sabemos que podemos desdobrar dV/dt para encaixar a altura(h) que é a variável de nosso problema. Assim, dV/dt = (dV/dh)*dh/dt, onde dV/dt, foi dado e vale 0,001m3/min. Já, dh/dt foi pedido e dV/dh, podemos calcular, sabendo que a fórmula do Volume de um cone é dada por: V = B.h/3, sendo b, a área da base e h, a altura do cone.
B = pi*r^2 ou B = pi*(d^2)/4, vimos inicilamente que a realção entre d e h é 1, ou seja: d = h.
então V = [pi*(d^2)/4]*h = [pi*(h^2)/4]*h, V = [pi*(h^2)/4]*h = (pi/4)*h^3, agora, calculamos a derivada do volume em relação à altura.
dV/dh = d/dh[(pi/4)*h^3] = (pi/4)*d/dh(h^3) => d/dh(h^3) = 3*h^2
dV/dh = (pi/4)*3*h^2, substituido dV/dh em dV/dt = (dV/dh)*dh/dt, temos:
dV/dt = [(pi/4)*3*h^2]*dh/dt => dV/dt = 0,001m3/min, h = 1m e dh/dt, é perguntado.
0,001 = [(pi/4)*3*1^2]*dh/dt = (3pi/4)*dh/dt
dh/dt = 0,001 / (3pi/4) = 0,004 / 3pi = 0,0004244 m/s = 0,4244 mm/s
Resposta:
nso entendi mad acho que a resposta de cima ta certa