Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r = 5m e altura h = 10m. No tempo t = 0, o tanque começa a ser enchido com água, que entra no tanque com uma vazão de 25 m3/h. Com qual velocidade o nível da água sobe? Depois de quanto tempo o tanque estará cheio?
Soluções para a tarefa
O volume do tanque cilíndrico tem fórmula dada por:
V = π.r².h
Derivando as grandezas que possuem variação pelo tempo, temos:
dV/dt = π.r².dh/dt
Somente a altura varia, pois o raio é constante para todo o cilindro.
Como dito no enunciado dV/dt = 25 m³/h, r = 5 m. Logo a velocidade que o nível da água sobe é dada por:
25 = π.5².dh/dt
dh/dt = 25/(25π)
dh/dt = 1/π m/s
dh/dt = 0,32 m/h
Para sabermos o tempo que leva para o tanque ficar cheio temos que saber o volume do mesmo. Logo:
V = π.r².h
V = π.5².10
V = 250π m³
O tempo para o tanque ser cheio será:
T = V/(dV/dt)
T = 250π/25
T = 10π horas
T = 31.42 horas
Logo, o tanque eleva seu nível de agua a uma taxa de 0.32 m/h e demora um tempo de 31.42 horas para ficar completamente cheio.
Espero ter ajudado. Bons estudos.