Question

um tanque está completamente cheio de água sabe-se que, a cada hora, 1/3 da água está contida no tanque é retirado. ao final da sexta hora, qual é a fração que representa a quantidade de água que restou no tanque?

Answer 1

Vamos utilizar uma PG para descrever este problema.

Note, inicialmente (a₁) o tanque está cheio e, portanto, podemos representar este conteúdo pela fração 3/3 ou, simplesmente 1, ou seja, o tanque inicia com (3/3) da sua capacidade.

Como foi dito no texto, a cada hora 1/3 da água é retirada, isto é, passada 1 hora o novo conteúdo (aₙ) do tanque será de 2/3 do conteúdo anterior (aₙ₋₁).

$\boxed{\sf a_n~=~\dfrac{2}{3}\cdot a_{n-1}}$

Assim, concluímos que a razão (q) dessa Progressão Geométrica será 2/3.

{3/3 da capacidade (inicio) , 2/3 da capacidade , a₃ , a₄ , a₅ , a₆ , a₇}

Para determinarmos a fração do conteúdo inicial (3/3 da capacidade) que ainda resta no tanque ao final da 6ª hora, utilizaremos o termo geral da PG.

$\sf Termo~Geral~da~PG:~~\boxed{\sf a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}$

Para n=7 (final da 6ª hora), m=1 (conteúdo inicial) e q=2/3, temos:

$\sf a_7~=~a_1\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{7-1}\\\\\\\sf a_7~=~\left(\dfrac{3}{3}~da~capacidade\right)\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}\\\\\\a_7~=~\left(\dfrac{3}{3}~da~capacidade\right)\cdot \left(\dfrac{2^6}{3^6}\right)\\\\\\a_7~=~\left(\dfrac{3}{3}~da~capacidade\right)\cdot \left(\dfrac{64}{729}\right)\\\\\\\boxed{\sf a_7~=~ \left(\dfrac{64}{729}\right)~da~capacidade~total~do~tanque}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$