Question

Um tanque de óleo deverá passar por um processo de limpeza. Sabe-se que há uma perda de
óleo neste processo e que o volume de óleo, após t minutos do início da limpeza, é dado pela
seguinte função: V(t) = 150.000 – 600t + 20t².
Determine o tempo necessário para se fazer a limpeza de modo que o desperdício de óleo seja
mínimo.

Answer 1

Quando ouvimos falar sobre valor mínimo temos que onde a primeira derivada assume um valor mínimo.
Antes de começar, temos que pensar no domínio da função. Não existe volume negativo, à não ser que seja uma situação de vazamento em que o sinal negativo represente a taxa com que algo está vazando (diminuindo/aumentando).
Logo, Domínio(V): [0, infinito)
Queremos saber onde V'(t)=0 e é mínimo.
V(t) = 150.000 – 600t + 20t²
V'(t) = 40t - 600
Precisamos ter as raízes de V'(t)
40t - 600 = 0
t = 600/40
t = 15 min
Estudando o sinal de f'(x)
0 - - - - 15 + + + + infinito
Pelo estudo do sinal de f'(x) podemos observar que f decresce de [0,15] e cresce de [15,infinito), logo, temos uma situação de mínimo em t=15 min. Logo i tempo necessário para que o desperdício seja mínimo é de 15 minutos