Question

Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de $r(t)=100e^{\displaystyle -0,01t}$ litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?

Answer 1

Para saber essa informação, teremos apenas que fazer a integral da função definida em I = [0,60]. 60 pois indica a quantidade de minutos em uma hora.

$\displaystyle \int^{60}_{0} 100e^{\displaystyle -0,01t} \, dt \\ \\ \\ 100 \int^{60}_{0} e^{\displaystyle -0,01t} \, dt \\ \\ \\ u=-0,01t \\ \\ du=-0,01 \, dt \\ \\ \\ -\frac{100}{0,01} \int^{60}_{0} e^{\displaystyle u} \, du \\ \\ \\ -10000e^{\displaystyle -0,01t} \left|\begin{array}{ccc}60\\\\\ 0\end{array}\right \\ \\ \\ (-10000e^{\displaystyle -0,01b}) - (-10000e^{\displaystyle -0,01a})$

$(-10000e^{\displaystyle -0,01 \cdot 60}) - (-10000e^{\displaystyle -0,01 \cdot 0}) \\ \\ \\ (-10000e^{\displaystyle -0,6}) - (-10000e^{\displaystyle 0}) \\ \\ \\ -10000e^{\displaystyle -0,6} + 10000 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\approx 4512 \, L}}$

Answer 2

Na primeira hora, vazou 4512L de Petróleo.

Como funciona a integral?

A integral definida acaba sendo projetada para sanar um dos mais antigos problemas geométricos, que é: realizar o cálculo da área de uma figura plana e com isso, a integral definida estará sempre associada a:

• y = f(x) sendo uma função contínua no intervalo [a,b].

Para saber dessa informação, é necessário realizar a integral da função que foi definida como I = [0,60].

• PS: 60 pois é 100% do total de minutos em uma hora.

Logo:

• ∫60 ~ 0 100e ^0,01t dt

100 ∫60 ~ 0 e^-0,01t dt.

u = -0,01t e du = 0,01 dt.

-100 / 0,01 ∫60 ~ 0 e^u du

-10000e ^-0,01t | 60 ~ 0

(-10000e ^-0,01b) - (-10000e^-0,01a)

(-10000e^-0,01 . 60) - (-10000e -0,01 . 0)

(-10000e^-0,6) - (-10000e^0)

-10000e^-0,6 + 10000

Finalizando então, o petróleo perdeu 4512L em uma hora.

Para saber mais sobre Integral:

https://brainly.com.br/tarefa/4457010

Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :))

#SPJ3