Question

Um tanque de 80 litros está cheio de água. Nessas condições, são necessários 24 segundos para se encher uma garrafa de água através de um orifício feito no fundo do tanque. Qual o tempo gasto, em segundos, para se encher a mesma garrafa quando temos apenas 10 litros d?água? Despreze a pequena variação no nível da água, quando se está enchendo a garrafa.

Answer 1

Utilizando equação de Bernoulli, temos que nesta nova velocidade o tanque leva 67,8 segundos para encher a mesma garrafa.

Explicação:

Temos que pela equação de bernoulli, podemos medir a velocidade que o liquido escoa da seguinte forma:

$P_1+\rho.g.h_1+\frac{\rho.v_{1}^{2}}{2}=P_2+\rho.g.h_2+\frac{\rho.v_{2}^{2}}{2}$

Neste caso, como tanto a pressão no inicio como no final são iguais, pois são a pressão atmosfericas, podemos cortar da conta:

$\rho.g.h_1+\frac{\rho.v_{1}^{2}}{2}=\rho.g.h_2+\frac{\rho.v_{2}^{2}}{2}$

Assim, no topo do tanque ele tem velocidade 0, pois esta descendo lentamente, e tem altura H. No fundo ele tem uma velocidade V que é a de vazão, e altura 0:

$\rho.g.h_1+\frac{\rho.v_{1}^{2}}{2}=\rho.g.h_2+\frac{\rho.v_{2}^{2}}{2}$

$\rho.g.H=\frac{\rho.V^{2}}{2}$

$g.H=\frac{V^{2}}{2}$

Isolando V para sabermos a velocidade de vazão:

$V=\sqrt{2gH}$

Esta é a velocidade quanto o tanque esta a 80 litros.

Quando o tanque esta a 10 litros, a unica coisa que muda nele é a altura, ou seja, a altura que variou 70 litros para baixo, então a altura dele a 10 Litros é de H/8, então a velocidade de vazão é:

$V=\sqrt{2g\frac{H}{8}}$

$V=\sqrt{g\frac{H}{4}}$

Assim temos a velocidade inicial e a final:

$V_i=\sqrt{2gH}$

$V_f=\sqrt{g\frac{H}{4}}$

E como sabemos que:

$V=\frac{\Delta V}{\Delta t}$

(Neste caso é uma variação da velocidade para volume)

E sabemos que com a primeira velocidade ele leva 24 segundos para encher uma grrafa, então podemos encontrar o volume desta garrafa com a formula:

$V=\frac{\Delta V}{\Delta t}$

$\sqrt{2gH}=\frac{\Delta V}{24}$

$\Delta V=24\sqrt{2gH}$

E agora este mesmo volume queremos encher com a outro velocidade, então utilizando a mesma formula:

$V=\frac{\Delta V}{\Delta t}$

$\sqrt{g\frac{H}{4}}=\frac{24\sqrt{2gH}}{Delta t}$

$Delta t=\frac{24\sqrt{2gH}}{\sqrt{g\frac{H}{4}}}$

$Delta t=24.\frac{\sqrt{2gH}}{\sqrt{g\frac{H}{4}}}$

$Delta t=24.\sqrt{\frac{2gH}{g\frac{H}{4}}}$

$Delta t=24.\sqrt{8}$

$Delta t=24.2\sqrt{2}$

$Delta t=48\sqrt{2}$

$Delta t=48.1,41$

$Delta t=67,8$

Assim nesta nova velocidade o tanque leva 67,8 segundos para encher a mesma garrafa.