Question

Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração Q(t) de sal no tanque em gramas por litro (g/l) decorridas de t horas após o início da diluição seja dada por Q (t)=100.5-3t. Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50(g/l). Use log5=0,7
A- 4 horas e 45 minutos
B- 3 horas e 20 minutos
C- 1 hora e 25 minutos
D- 20 minutos

Answer 1

A alternativa que mais se aproxima do tempo necessário é a alternativa D.

A concentração de sal no tanque é dada pela equação:

Q(t) = 100.5^(-3t)

Para encontrar o tempo em que a concentração leva para diminuir para 50 g/l, devemos substituir Q(t) por 50 e isolar t:

50 = 100.5^(-0,3t)

0,5 = 5.^(-0,3t)

Aplicando o logaritmo em ambos os termos, temos:

log 0,5 = log 5^(-0,3t)

log 5/10 = -0,3t.log 5

log 5 - log 10 = -0,3t.log 5

0,7 - 1 = -0,3t.0,7

-0,3t.0,7 = -0,3

t = 1/0,7

t = 1,4286 h

Convertendo para minutos, temos:

t = 1 + 60.0,4286

t = 1 hora e 25 minutos

Resposta: C

Answer 2

Para o sal diminuir será necessário 1 hora é 25 minutos

letra C

mas, como chegamos nesse resposta?

Para resolvermos esse problema  temos que saber algumas propriedades do LOGARITIMO

PROPRIEDADES:

$\boxed{A=B \Rightarrow LOG(A)=LOG(B)}$

$\boxed{LOG(A)^B= B\times LOG(A)}$

$\boxed{LOG(\dfrac{A}{B}) \Rightarrow LOG(A)-LOG(B)}$

LOG(5)=0,7

LOG(10)=1

Vamos a questão

A questão nos da um  função de uma solução decorrente do tempo

em que Q(t) representa a concentração é T representa o tempo

$Q(t)=100\times 5^{(-0,3)T}$

É a questão nos da o valor de Q(t) que é 50,  é nos pede para achar o T

Vamos substituir Q(t) na formula

$Q(t)=100\times 5^{(-0,3)T}\\\\\boxed{50=100\times 5^{(-0,3)T}}$

agora  basta isolarmos T para achar seu valor

$50= 100 \times 5^{(-0,3)T} \\\\\\50\div 100= 5^{(-0,3)T}\\\\\\\boxed{0,5= 5^{(-0,3)T}}$

agora perceba que precisamos usar as formula logarítmicas para achar o T

$\boxed{A=B \Rightarrow LOG(A)=LOG(B)}\\\\\\LOG(0,5)= LOG(5)^{(-0,3)T}$

Perceba que  a questão nos da  o log de 5 mas não nos da  o log de 0,5 então temos que manipular esse 0,5 para encaixar  o log5 nele

$0,5=\dfrac{5}{10}$

$LOG(0,5)= LOG(5)^{(-0,3)T}\\\\\\\boxed{LOG(\dfrac{5}{10} )= LOG(5)^{(-0,3)T}}$

agora aplicando a propriedade $\boxed{LOG(\dfrac{A}{B}) \Rightarrow LOG(A)-LOG(B)}$

temos

$LOG(\dfrac{5}{10} )= LOG(5)^{(-0,3)T}\\\\\\\boxed{LOG(5)-LOG(10)= LOG(5)^{(-0,3)T}}$

agora temos que aplicar outra propriedade para esse 0,03t

a propriedade:  $\boxed{LOG(A)^B= B\times LOG(A)}$

${LOG(5)-LOG(10)= LOG(5)^{(-0,3)t}}\\\\\\\boxed{{LOG(5)-LOG(10)= -0,3\times t \times LOG(5)}}$

agora que so temos log de 5 é log de 10 podemos facilmente resolve-las pois a questão nos dar o valor de LOG(5)

LOG(5)=0,7

basta substituir

${LOG(5)-LOG(10)= -0,3\times t \times LOG(5)}\\\\\\0,7-1=-0,3 \times T \times 0,7\\\\-0,3= -0,3 \times T \times 0,7\\\\-0,3\div -0,3= T\times 0,7\\\\1=0,7T\\\\1/0,7=T\\\\1,4=T\\\\\boxed{T= 1,4 ~HORAS}$

Perceba que encontramos que T é igual a 1,4 horas mas a questão da a resposta em Horas é minutos

Por logica poderíamos deduzir que a resposta correta é a letra C pois é a única que possui 1 hora.  Mas, para verificarmos basta fazermos uma regra de 3

queremos transforma esse 0,4 Horas em minutos para isso montamos a seguinte regra de 3

$1--------->60Min\\0,4------->X$

podemos aproximar 24 minutos para 25 e marca a letra C

PS: tentei ser o mais detalhista possível para aqueles quem tem dificuldade compreenderem, espero ter ajudado