Question

Um tanque contém 100 L de água pura. Água salgada contendo 0,1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é agitada e retirada do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos?

Answer 1

Após 6 minutos ainda haverá 4,152 kg de sal no tanque.

A questão nos pede para calcular a quantidade de sal que permanecerá no tangue após um intervalo de tempo, ou seja, ela nos pede para calcular a taxa de variação da quantidade de sal presente no tanque.

Chamaremos de y(t) a quantidade de sal após t minutos. Assim:

y˙ = $\frac{dy}{dt}$ = (taxa de sal que entra no tanque) − (taxa de sal que sai do tanque)

A taxa de variação da quantidade de sal na entrada do tanque será denotada como y˙E, e a taxa de variação da quantidade que sai será y˙S. Assim, a expressão acima fica:

y˙=y˙E−y˙S

Em que:

y˙E = (10L/min) * (0,1 kg/L) = 1 kg/min

y˙S= (10 L/min) * ($\frac{y(t)}{100}$ kg/L) = $\frac{y(t)}{10}$ kg/min

Assim, a equação da quantidade de sal contida no tanque torna-se:  

y˙= 1 - $\frac{y}{10}$

O que nos deixa com uma equação diferencial ordinária. Para soluciona-la devemos fazer o seguinte:

y˙= 1 - $\frac{y}{10}$

$\frac{dy}{dt}$  = $\frac{y}{10}$

$\frac{dy}{dt}$ = $\frac{10 - y}{10}$

$\frac{dy}{10-y}$= $\frac{dt}{10}$

 $\frac{dy}{y - 10}$ =  $\frac{- dt}{10}$

∫ $\frac{dy}{y -10}$=−∫ $\frac{dt}{10}$

ln(y−10)= $\frac{-t}{10}$+c

Com c é uma constante

Assim:

y−10=e $\frac{-t}{10}$+c

y=10+Ce− $\frac{t}{10}$

O valor da constante C pode ser determinado a partir da condição inicial e sabemos que no início só havia água pura no tanque, podemos assumir y(0) = 0:

0=10+Ce− $\frac{0}{10}$

Logo, C=−10

Portanto, a equação que descreve a quantidade de sal no tanque em função do tempo é:

y(t)=10−10e− $\frac{t}{10}$

Assim, após 6 minutos, a quantidade de sal que haverá no tanque será:de y(6)=10-10e -  $\frac{6}{10}$ = 4,152

Espero ter ajudado, bons estudos :)