Question

Um supermercadista quer arrumar 630 latas de um produto em uma pilha, de modo que em cada camada haja uma lata a menos do que na anterior, terminando por uma única lata. o numero de latas que ele deve colocar na base é?
a)35
b)42
c)72
d)36
e)70

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Raul, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que um supermercadista quer arrumar 630 latas de um produto em uma pilha, de modo que emcada camada haja uma lata a menos que na camada anterior, terminando por uma única lata na última camada (a de cima). Então quantas latas estarão na base dessa pilha?

ii) Veja: vamos começar pela única lata que está no topo da pilha. Então se lá em cima da pilha há uma lata, na camada imediatamente abaixo haverá 2 latas, na imediatamente abaixo desta haverá 3 latas e assim sucessivamente, até à camada inicial (que terá todas as outras camadas em cima dela)

iii) Vamos calcular o número de camadas partindo de uma lata que está no topo da pilha. Veja que vamos ter uma PA que terá a seguinte conformação:

(1; 2; 3; 4; 5; ..........) "1" lata no topo da pilha, "2" latas na camada imediatamente abaixo; "3" latas na camada imediatamente abaixo; e assim sucessivamente. Veja que formamos uma PA cujo primeiro termo é igual a "1" e cuja razão é igualo a "1" também, pois as camadas vão tendo sempre mais uma lata do que a camada anterior. Assim, vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA, que é esta:

a ̪  = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima temos que "a ̪ " é o número de camadas que queremos encontrar; "a₁" é o primeiro termo da PA, que já vimos que é igual a "1"; "n" é o número de termos da PA; e finalmente "r" é a razão da PA que já vimos que é igual a "1". Assim, fazendo as devidas substituições,teremos:

a ̪  = 1 +(n-1)*1 ---- desenvolvendo, temos:
a ̪  = 1 +n*1 - 1*1 --- ou apenas:
a ̪  = 1 + n - 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos apenas com:
a ̪  = n <--- Este é o número de termos da nossa PA.

iv) Agora vamos à soma dessas latas. Note que o número de latas é de 630 latas. E a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada da seguinte forma:

S ̪  = (a₁ + a ̪ )*n/2

Na fórmula acima substituiremos "S ̪ " por 630, que é o número total de latas. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "1" que é o valor do  1º termo da PA. Por seu turno substituiremos "a ̪ " por "n" (que é o valor que encontramos logo acima quando aplicamos a fórmula do termo geral para encontrar o valor do último termo). Assim, fazendo essas substituições, teremos:

630 = (1 + n)*n/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*630 = (1 + n)*n ---- efetuando os produtos indicados, temos:
1.260 = n + n² ---- ou apenas:
1.260 = n² + n ---- passando "1.260" para o 2º membro, temos:
0 = n² + n - 1.260 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
n² + n - 1.260 = 0 ----Agora note: se você aplicar Bháskara vai encontrar que as raízes serão estas:

n' = - 36
n'' = 35

Como o número de camadas de latas não poderá ser negativo, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

n = 35 latas <--- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, este é o número de latas que tem na camada da base.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.