Question

(UM-SP)A reta r passa pelo ponto P (1,0) e é perpendicular à reta s dada por y = 2x+3. Se o ponto Q (a,4) pertence à reta r, então a vale: a) 0 b) -3 c).-7 d) 7 e) 3

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor da abscissa "a" que torna o ponto "Q" pertencente à reta "r" é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a = -7\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:C\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} P(1, 0)\\Q(a, 4)\\s: y = 2x + 3\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Recuperar o coeficiente angular da reta "s". Sabendo que toda equação reduzida da reta é montada utilizando-se da seguinte fórmula:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = mx + n\end{gathered}$    

        Onde:

             $\Large\begin{cases} m = \textrm{Coeficiente angular}\\n = \textrm{Coeficiente linear}\end{cases}$

        Comparando os coeficientes da reta "s" com a equação "I", temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} s: y = 2x + 3 \Longrightarrow m_{s} = 2\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{s} = 2\end{gathered}$  

• Determinar o coeficiente angular da reta "r".

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:r\perp s\Longrightarrow m_{r}\cdot m_{s} = -1\Longrightarrow m_{r} = -\frac{1}{m_{s}}\end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{r} = -\frac{1}{2}\end{gathered}$

• Determinar a equação da reta "r" passando pelo ponto "P". Como já temos o ponto "P" e a declividade - coeficiente angular "mr" - então devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade". Então, temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

        Substituindo os dados na equação "II", temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 0 = -\frac{1}{2}\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:r: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\end{gathered}$

• Calcular o valor da abscissa "a" para que o ponto "Q" pertença à reta "r". Neste caso, devemos inserir as coordenadas do ponto "Q" na reta "r" para calcular o valor de "a". Então, temos:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 = -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 = \frac{-a + 1}{2}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 8 = -a + 1\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 8 - 1 = -a\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7 = -a\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} -a = 7\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = -7\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor de "a" é:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = -7\end{gathered}$

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