Matemática, perguntado por claytoncrx, 5 meses atrás

Um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo no plano é denominado sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido utilizamos as integrais definidas, assim é fundamental identificar a função a ser integrada e o limite de integração. Assim, deseja-se calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas: y=Vx,y=0,x=0,x=1.

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que o volume deste é igual a $\boxed{ \bf V =\frac{\pi}{2}\:u.v}\\$ .

Explicação

Temos as seguintes restrições:

$\: \: \: \:\:\:\boxed{y = \sqrt{x}, \: y = 0, \: x = 0, \: x = 1}$

O objetivo é determinarmos o volume do sólido formado pela rotação da função em torno de x.

Método dos discos:

Vamos tomar os elementos de área perpendiculares ao eixo de rotação, isto é, uma pequena fatia desta função.

Ao fazermos a rotação em torno de x, a função se torna uma espécie de sino e a fatia se torna um cilindro infinitesimal.

Ou seja, se fatiarmos esta função infinitas vezes, obteremos infinitos cilindros, portanto podemos calcular o volume de um destes e ao final somar todos através de uma integral.

O volume de um cilindro é dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: 1)\:V = \pi \cdot r^2\cdot h$

Sendo V uma diferencial de volume, já que neste caso estamos com um cilindro muito pequeno.

Se você observar a imagem anexada, pode ver que quem representa o raio deste cilindro é a própria função, já a altura é uma pequena parte do eixo x. Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:2)\:dV = \pi \cdot [f(x)]^2\cdot dx$

Agora basta integrarmos este volume em um determinado intervalo.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: 3)\:V = \int _{a}^{b} \pi \cdot [f(x)]^2\cdot dx \\$

Portanto esta é a expressão que usaremos para encontrar o volume do sólido de rotação.

Volume do sólido de revolução:

Pelo enunciado, podemos ver que o intervalo a qual esta função está submetida é $\bf [0,1]$ . Logo:

$V = \int_{0}^{1}\pi. [ \sqrt{x } \: ] ^{2} dx \: \: \to \: \:V =\int_{0}^{1}\pi.x \: dx\\ \\ V =\pi\int_{0}^{1}x \: dx \: \: \to \: \: V =\pi. \left[ \frac{x {}^{2} }{2} \right] \bigg |_{0}^{1} \\$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$V =\pi. \left[ \frac{x {}^{2} }{2} \right] \bigg |_{0}^{1} \: \to \: V =\pi. \left(\frac{1 {}^{2} }{2} - \frac{0 {}^{2} }{2} \right) \\ \\ \boxed{ \bf V = \frac{\pi}{2} \: u.v}$