Um sólido é gerado pela
rotação completa do
quadrilátero S em torno
do eixo y, conforme
figura abaixo.
Sabendo que o
quadrilátero S tem
vértices nos pontos de
coordenadas (0, 0),
(8, 3), (8, 9) e (4, 9),
determine o volume do
sólido gerado.
Soluções para a tarefa
O volume do sólido gerado é 464 π.
Volume de um sólido por revolução
Um sólido de revolução é o nome dado ao sólido gerado pela rotação de uma área plana em torno de uma reta chamada eixo de rotação, contida no plano. De modo geral, o volume de um sólido de revolução pode ser encontrado de três formas:
- Método do disco;
- Método da casca;
- Métodos da arruela.
Cada forma é utilizada para determinado fim podendo, inclusive, ser utilizada conjuntamente com outra.
Para a questão apresentada, pode-se resolver utilizando o método da arruela. Tal método consiste de subtrações da parte que não se deseja. Uma maneira correta seria:
onde é a função linear que passa pelos pontos (0,0) e (9,4) e a função que passa pelos pontos (0,0) e (3,8). Observe que troquei a posição dos eixos coordenados.
Primeiramente, acharei tais funções:
f(y) = ay + b
Como contém os pontos (9,4) e (0,0):
0 = 0 + b ⇒ b = 0
4 = 9a ⇒ a = 4/9
Logo, f(y) = 4y/9 .
Para g(y):
g(y) = my + n
Como contém os pontos (3,8) e (0,0):
0 = 0 + b ⇒ n = 0
8 = 3a ⇒ m = 8/3
Logo, g(y) = 8y/3 .
Assim,
464 π
O volume do sólido gerado é 464 π.
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