Question

Um sólido é gerado pela
rotação completa do
quadrilátero S em torno
do eixo y, conforme
figura abaixo.
Sabendo que o
quadrilátero S tem
vértices nos pontos de
coordenadas (0, 0),
(8, 3), (8, 9) e (4, 9),
determine o volume do
sólido gerado.

Answer 1

O volume do sólido gerado é 464 π.

$\dotfill$

Volume de um sólido por revolução

Um sólido de revolução é o nome dado ao sólido gerado pela rotação de uma área plana em torno de uma reta chamada eixo de rotação, contida no plano. De modo geral, o volume de um sólido de revolução pode ser encontrado de três formas:

• Método do disco;
• Método da casca;
• Métodos da arruela.

Cada forma é utilizada para determinado fim podendo, inclusive, ser utilizada conjuntamente com outra.

Para a questão apresentada, pode-se resolver utilizando o método da arruela. Tal método consiste de subtrações da parte que não se deseja. Uma maneira correta seria:

$\pi(\int\limits^9_0 {8^2} \, dy - \int\limits^9_0 [f(y)]^2 \, dy - \int\limits^3_0 [g(y)]^2 \, dy)$

onde $f(y)$ é a função linear que passa pelos pontos (0,0) e (9,4) e $g(y)$  a função que passa pelos pontos (0,0) e (3,8). Observe que troquei a posição dos eixos coordenados.

Primeiramente, acharei tais funções:

f(y) = ay + b

Como contém os pontos (9,4) e (0,0):

0 = 0 + b ⇒  b = 0

4 = 9a    ⇒  a = 4/9

Logo, f(y) = 4y/9 .

Para g(y):

g(y) = my + n

Como contém os pontos (3,8) e (0,0):

0 = 0 + b ⇒  n = 0

8 = 3a    ⇒  m = 8/3

Logo, g(y) = 8y/3 .

Assim,

$\pi(\int\limits^9_0 {8^2} \, dy - \int\limits^9_0 [\frac{4y}{9} ]^2 \, dy - \int\limits^3_0 [\frac{8y}{3}]^2 \, dy)$

$\pi(576 - [\frac{16y^3}{243}]^9_0 - [\frac{64y^3}{27}]^3_0)$

$\pi(576 - 48 - 64)$

464 π

O volume do sólido gerado é 464 π.

$\dotfill$

Veja mais questões sobre volume de um sólido por revolução em:

https://brainly.com.br/tarefa/5553040