Question

Um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue o(s) item(ns) seguinte(s).

A idade do sargento é superior a 32 anos.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Diegocapixaba, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte questão: um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue o(s) item(ns) seguinte(s):

- A idade do sargento é superior a 32 anos (este foi o único item que você descreveu na sua questão).

ii) Mas vamos dar a idade de cada um e depois julgaremos esse único item que você forneceu.

Se as idades do soldado, do sargento e do tenente estão em PG (progressão geométrica), e sendo o soldado o mais novo e o tenente o mais velho, então vamos chamar as três idades do seguinte modo (chamando de a₁ o primeiro termo da PG e de "q" a razão dessa PG):

Primeiro termo: a₁ ------ será a idade do soldado (o mais novo)

Segundo termo: a₁*q ---- será o termo do meio (a idade do sargento)

Terceiro termo: a₁*q² ---- será o último termo (a idade do tenente).

iii) Tem-se que o produto entre essas três idades é igual a 27.000. Então teremos a seguinte lei de formação:

a₁*a₁q*a₁q² = 27.000 ---- desenvolvendo, temos que:

(a₁)³*(q)³ = 27.000 ---- ou apenas, o que é a mesma coisa:

(a₁q)³ = 27.000 ---- isolando "a₁q" teremos:

a₁q = ∛(27.000) ---- note que ∛(27.000) = 30. Logo:

a₁q = 30 ----- isolando "a₁" teremos:

a₁ = 30/q . (I)

Temos ainda a seguinte informação: a idade do sargento somado com a do tenente é igual a 75 anos. Então teremos a seguinte lei de formação:

a₁q + a₁q² = 75 . (II)

Mas já vimos, conforme a expressão (I), que a₁ = 30/q . Então vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos "a₁" por "30/q". Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

a₁q + a₁q² = 75 ----- substituindo-se "a₁" por "30/q", teremos:

(30/q)*q + (30/q)*q² = 75 ---- desenvolvendo, ficaremos assim:

30q/q + 30q²/q = 75 ---- simplificando-se, no 1º membro, cada fator por "q", iremos ficar apenas com:

30 + 30q = 75 ----- passando "30" para o 2º membor, temos:

30q = 75 - 30

30q = 45

q = 45/30 ----- note que esta divisão dá exatamente "1,5". Logo:

q = 1,5 <--- Este é o valor da razão (q) da PG da sua questão.

Como já temos o valor de "q" (q = 1,5), então vamos na expressão (I) para encontrar o valor de "a₁". A expressão (I) é esta:

a₁ = 30/q ---- substituindo-se "q" por "1,5", teremos:

a₁ = 30/1,5 ------ note que esta divisão dá exatamente igual a "20". Logo:

a₁ = 20 <--- Este é o valor do primeiro termo (é a idade do soldado).

Finalmente, como já temos o valor de "a₁" (a₁ = 20) e de "q" (q = 1,5), então vamos encontrar as idades do sargento (a₁q) e a do tenente (a₁q²). Assim teremos:

a₁q = 20*1,5

a₁q = 30 <--- Este é o valor do 2º termo (é a idade do sargento).

e

a₁q² = 20*(1,5)²

a₁q² = 20*2,25

a₁q² = 45 <--- Este é o valor do 3º termo (é a idade do tenente).

Assim, resumindo, temos que as três idades são estas:

soldado: 20 anos; sargento: 30 anos; e tenente: 45 anos.

Note que realmente é uma PG, cujo primeiro termo (a₁) é igual a "20" e cuja razão (q) é igual a "1,5". Nessas condições, a PG, com os seus três termos será esta:

(20; 30; 45) <---Esta é a PG da sua questão.

iii) Assim, julgando o único item que você forneceu, segundo o qual a idade do sargento seria superior a 32 anos, então julgamos FALSA essa afirmação, pois, como você viu, o sargento tem apenas 30 anos.

Bem, a resposta já está dada. Agora queremos apenas fazer um pequeno "reparo" quando você informa que o site é um "lixo" pois ninguém ajuda. Veja que o site Brainly recebe uma média imensa de perguntas diariamente. E como a quantidade de respondedores não é tão grande quanto à demanda de perguntas feitas diariamente, então é claro que algumas perguntas ficam sem respostas, mesmo porque o próprio perguntador, ao ver que a sua pergunta não é respondida, não renova a pergunta, pois, quando uma pergunta passa, o "espelho" das perguntas mais vistas é aquele das novas perguntas. As perguntas que passaram raramente são vistas novamente pela gama de respondedores que a plataforma possui.

Outra coisa importante: a gama de respondedores com que a plataforma conta está aqui por mero diletantismo. Nós, os respondedores, só temos vontade de bem servir aos outros sem exigir dos perguntadores e da plataforma nenhum benefício pecuniário ou outra coisa que o valha. Muitas vezes nós (os respondedores) nem um "obrigado" recebemos dos perguntadores, mas, mesmo assim, nunca deixamos de responder às questões que são vistas.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.