Question

Um sitiante precisa cercar um terreno com formato de um setor circular. Eledispoe de 360 metros de arame para cerca-lo, dando 3 voltas. Qual deve ser o raio dosetor para que a ́area cercada seja a maior possıvel? Qual ́e essa ́area maxima?

Answer 1

Resposta:

Raio igual a 1/4 do perímetro e área 900m²

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

A área do setor:

$A=\dfrac{R^2\cdot\theta}{2}$

Agora, calculemos o ângulo em função do perímetro (P), dado.

$R+R+R\theta=P\\\\R\theta=P-2R\\\\\theta=\dfrac{P}{R}-2$

Substituindo na área do setor:

$A=\dfrac{R^2\cdot\left(\dfrac{P}{R}-2\right)}{2}\\\\A=\dfrac{PR-2R^2}{2}$

Derivando-se em função do Raio:

$A'=\dfrac{1}{2}\cdot\left(P-4R\right)=0\\\\4R=P\\\\R=\dfrac{P}{4}$

Agora que temos o raio, 1/4 do perímetro, podemos encontrar a área.

Se temos 360 metros para 3 voltas, uma volta completa será de 120 metros. Este é o valor do perímetro.

Divindo-se por 4:

R= 120/4 = 30m

Já a área:

$A=\dfrac{PR-2R^2}{2}\\\\A=\dfrac{120\cdot 30-2\cdot 30^2}{2}=\dfrac{3600-1800}{2}=900$

Espero ter ajudado!