Question

Um sistema massa-mola tem comprimento natural 0, 8 m e 4 kg de massa. Uma força de 40 N é necessária para manter a mola esticada até um comprimento de 1, 2 m. Determine a posição da massa em qualquer instante t se ele iniciar da posição de equilíbrio e for dado um empurrão para que a velocidade inicial seja de 1 m/s

Answer 1

Utilizando noções basicas de oscilação harmonica, temos que nossa função posição fica: $x=0,8+0,2.sen(5.t)$

Explicação passo-a-passo:

Uma mola oscilando obedece a seguinte equação:

$x=X_0+A.sen(\omega.t)$

Sendo esta a função de oscilação harmonica, onde:

X0 : Posição inicial = 0,8 m.

A: Amplitude que ainda iremos descobrir.

$\omega$: Frequência angular que podemos descobrir com:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{M}}$

Sendo esta constante elastica sobre massa, para descobrir a constante elastica, vamos utilizar o valor de que fazendo 40 N de força a mola deforma 0,4m, pois vai de 0,8m para 1,2:

$F=k.x$

$40=k.0,4$

$k=\frac{40}{0,4}$

$k=100$

Tendo esta constante elastica podemos ir a frequência angular:

$\omega=\sqrt{\frac{100}{4}}$

$\omega=\sqrt{25}$

$\omega=5$

Com isso nossa função oscilação fica:

$x=0,8+A.sen(5.t)$

A partir da posição a função velocidade é muito parecido, sendo esta (a derivada da posição):

$v=\omega.A.cos(5.t)$

Como já sabemos alguns detalhes, podemos substituir na função velocidade:

$v=5.A.cos(5.t)$

E sabemos que se substituirmos o tempo por 0, a velocidade deve ser 1, então:

$1=5.A.cos(5.0)$

$1=5.A.1$

$A=\frac{1}{5}$

$A=0,2$

Assim sabendo a amplitude nós podemos escreve a função posição completamente:

$x=0,8+0,2.sen(5.t)$